Question

o vetor gradiente de f(x,y) = x^2+Y^2 em (1,1) é

Answer 1

$f(x,\,y)=x^2+y^2$


O vetor gradiente de $f$ em um ponto qualquer do seu domínio é dado por

$\overrightarrow{\nabla}f(x,\,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{j}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


ou seja, é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de $f$ no ponto dado.

________________________

Calculando as derivadas parciais de $f$


$\bullet~~$ Derivada parcial de $f$ em relação a $x:$

(Considera $y$ como constante)

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)=2x+0\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)=2x \end{array}}$


$\bullet~~$ Derivada parcial de $f$ em relação a $y:$

(Considera $x$ como constante)

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)=0+2y\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)=2y \end{array}}$

_______________________

Portanto, o vetor gradiente de $f$ é dado por

$\boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\nabla}f(x,\,y)=2x\overrightarrow{\mathbf{i}}+2y\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


Computando o vetor gradiente no ponto $(1,\,1),$ temos

$\overrightarrow{\nabla}f(1,\,1)=(2\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(2\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\nabla}f(1,\,1)=2\overrightarrow{\mathbf{i}}+2\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 1) = (2,\,2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = x^{2} + y^{2}\\P(1, 1)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot x\cdot \vec{i} + 2\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x\,\vec{i} + 2y\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = 2\cdot1\,\vec{i} + 2\cdot1\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\,\vec{i} + 2\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 2)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (2,\,2)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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