Question

A figura representada o grafico dada a função:
$f(x)= x^{2} -2 x$
A area compreendida entre o grafico de uma função e o eixo dos x é dada por
$A= \int\limits^b_a f({x}) \, dx$
Assim a area sombreada da figura é igual a:
$y= x^{2} -2x$

grafico em anexo

alternativas:

a) 12
b) $\frac{4}{3}$
c) 4
d) $\frac{2}{3}$

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Answer 1

Só uma correção ao enunciado.

A área compreendida entre o gráfico de $f$ e o eixo $x\,,$ no intervalo $(a,\,b)$ é dada por

$\boxed{\begin{array}{c}A=\displaystyle\int_a^b \big|f(x)\big|\,dx \end{array}}$

(devemos tomar a função em valor absoluto para computar a área)

________________________

Queremos a área entre o gráfico da função

$f(x)=x^2-2x$

e o eixo $x.$


O intervalo de integração é $x\in[0,\,2]$


Portanto, a área é dada por

$A=\displaystyle\int_0^2 \big|f(x)\big|\,dx\\\\\\ =\int_0^2 \big|x^2-2x\big|\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Acontece que no intervalo de integração, $f$ nunca é positiva, isto é, $f(x)\le 0.$ Logo,

$\big|f(x)\big|=-f(x)\\\\ \big|x^2-2x\big|=-(x^2-2x)~~~~~~\text{para }0\le x\le 2$


Voltando, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$=\displaystyle\int_0^2 -(x^2-2x)\,dx\\\\\\ =\int_0^2 (-x^2+2x)\,dx\\\\\\ =\left.\left(-\,\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^2}{2} \right )\right|_0^2\\\\\\ =\left.\left(-\,\dfrac{x^3}{3}+x^2 \right )\right|_0^2$

$=\left(-\,\dfrac{2^3}{3}+2^2 \right )-\left(-\,\dfrac{0^3}{3}+0^2 \right )\\\\\\ =-\,\dfrac{8}{3}+4\\\\\\ =-\,\dfrac{8}{3}+\dfrac{12}{3}\\\\\\ =\dfrac{-8+12}{3}\\\\\\ =\dfrac{4}{3}\mathrm{~u.a.}$


Resposta: alternativa $\text{b) }\dfrac{4}{3}.$