Question

Uma pequena bola de borracha é abandonada
de uma altura h e cai verticalmente sobre um piso
horizontal. A cada repique, ela retorna a uma altura
máxima que é 2/3 da altura máxima anterior.
A distância percorrida pela bola, até parar, é
de:
(A) 2h/3
(B) 3h/2
(C) 3h
(D) 5h
(E) ∞

Answer 1

Olá wesley

Temos uma Progressão geométrica;

No entanto, repare que quando a bola cair no primeiro instante ela percorrera uma distancia "h" completa.

Após esse percurso ela subira uma altura 2h/3 certo?
Porém, terá que retornar 2h/3 novamente. Logo depois, subira 4h/9 e retornara 4h/9, de tal forma que ocorre sucessivamente n vezes. Com essa lógica tiramos a conclusão que a distancia da bola sera:

               ∞
d = h + 2∑ ak
              k=2
                           ∞
Sabendo que 2* ∑ ak  =  $2* \frac{ a_{2} }{1-r}$
                          k =2

De razão 2/3. e a₂ = 2h/3

Calcularemos o somatório dos termos > a₂  quando tende ao infinito assim:

$S_{n} = \frac{ a_{1} }{1-r}$

Onde a1 = 2h/3

Desso modo teremos:

$\\ d = h+2* \frac{ a_{2} }{1-r} \\ \\ d = h + 2* \frac{ \frac{2h}{3} }{1- \frac{2}{3} } \\ \\ d = h +2* \frac{ \frac{2h}{3} }{ \frac{3-2}{3} } \\ \\ d = h+2* \frac{ \frac{2h}{3} }{ \frac{1}{3} } \\ \\ d = h+2* \frac{2h}{3} * \frac{3}{1} \\ \\ d=h+2*2h \\ \\ d = h+4h \\ \\ d = 5h$