• Matéria: Matemática
  • Autor: HeitorFarias
  • Perguntado 9 anos atrás

Alguém pode dar uma ajuda?

Anexos:

Respostas

respondido por: deividsilva784
2
O volume de um cilindro qualquer é dado pela seguinte formula:

V(r,h) = πr²h

Sendo assim, o centro do cilindro deverá coincidir com o centro da esfera:


onde:

R é o raio da esfera.
r é a metade da base desse cilindro.
h/2 é a altura média do cilindro.

       |
       | \ 
h/2  |   \  R
       |     \      
        ------
          r

Por pitagoras temos que r é:

 \\ r^2+( \frac{h}{2} )^2= R^2
 \\ 
 \\ r^2+\frac{h^2}{4} = R^2
 \\ 
 \\ r^2 = R^2-\frac{h^2}{4}
 \\ 
 \\ r^2 =  \frac{4R^2-h^2}{4}

Substituindo r² na formula do volume teremos:

 \\ V(r,h) =  \pi r^2*h
 \\ 
 \\ V(r,h) =  \pi ( \frac{4R^2-h^2}{4} )*h
 \\ 
 \\ V(r,h) =    \frac{4 \pi hR^2- \pi h^3 }{4}

Como R não interfere na variação , o volume será:

V(h) =  \frac{4 \pi hR^2- \pi h^3}{4}

Achando o ponto máximo derivando a derivada primeira:

 \\ V(h)' = 0
 \\ 
 \\ V(h)' =  \frac{ d\frac{(4 \pi hR^2- \pi h^3)}{4} }{dh} 
 \\ 
 \\ V(h)' =  \frac{1}{4} *(4 \pi R^2-3 \pi h^2)
 \\ 
 \\V(h)' =  \pi R^2- \frac{3 \pi h^2}{4}

Igualando a zero, assim determinaremos o ponto máximo:

 \\   \pi R^2- \frac{3 \pi h^2}{4} = 0
 \\ 
 \\ \frac{3 \pi h^2}{4} =  \pi R^2
 \\ 
 \\ 3 \pi h^2 = 4 \pi R^2
 \\ 
 \\ 3h^2 = 4R^2
 \\ 
 \\ h^2 =  \frac{4R^2}{3} 
 \\ 
 \\ h =  \sqrt{ \frac{4R^2}{3} } 
 \\ 
 \\ h =  \frac{2R}{ \sqrt{3} } 
 \\ 
 \\ h =  \frac{2R}{ \sqrt{3} } * \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } 
 \\ 
 \\ h = \frac{2R \sqrt{3} }{3}

Substituindo R = 10cm teremos:

 \\ h =  \frac{2R \sqrt{3} }{3} 
 \\ 
 \\ h =  \frac{20 \sqrt{3} }{3} cm

----------------------------------

Tinhamos que:


 \\ r^2 =  \frac{4R^2-h^2}{4} 
 \\ 
 \\ r^2 =  \frac{4*10^2- (\frac{20 \sqrt{3} }{3})^2 }{4} 
 \\ 
 \\ r^2 = 66,7071
 \\ 
 \\ r =  \sqrt{66,7071} 
 \\ 
 \\ r = 8,17cm


Mas como r é a metade de base do cilindro, deveremos multiplicar por 2.

 Base_{cilindro} = 2r = 16,33cm
------------------------------------

O volume será:

  \\ V_{maximo} =   \pi (r_{cilindro} )^2* h_{cilindro} 
 \\ 
 \\ V_{maximo} =   \pi *(8,17cm)^2* \frac{20 \sqrt{3} }{3} 
 \\ 
 \\ V_{maximo} = 2.421cm^3

HeitorFarias: Achando o ponto máximo derivando a derivada primeira:

\\ V(h)' = 0
 \\ 
 \\ V(h)' = \frac{ d\frac{(4 \pi hR^2- \pi h^3)}{4} }{dh} 
 \\ 
 \\ V(h)' = \frac{1}{4} *(4 \pi R^2-3 \pi h^2)
 \\ 
 \\V(h)' = \pi R^2- \frac{3 \pi h^2}{4}
HeitorFarias: Não entendi o que você vez aqui, derivou em função de h?
deividsilva784: Sim.
HeitorFarias: Monstrão, obrigado mesmo!
deividsilva784: Valeu!
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