Question

determinar a area limitada pela curva y = 4x - x² e pelo eixo x.

Answer 1

INT(4x-x^2, 1, 3) = [2x^2-(x^3)/3, 1, 3] = (2•3^2 – 3^3/3) – (2•1^2 – 1^3/3) = (18-9) – 5/3 = 22/3

Answer 2

A área entre curvas pode ser determinada a partir da integral das funções. Como a segunda função é o próprio eixo x, a área delimitada pela função é igual a 56/3 u.a ou 16,67 u.a.

Área entre curvas

As integrais definidas conseguem determinar a área de superfícies curvas a partir de um plano cartesiano no qual podemos fazer a integral de uma função subtraída pela integral da outra.

Como as integrais ainda estão indefinidas, precisamos definir os limites de integração, resolvendo a primeira função:

4x - x² = 0

- x² + 4x = 0

x² - 4x = 0

Δ = (- 4²) - (4.(-1).0)

Δ = 16

Agora, encontramos as raízes:

x = (- (-4) ± $\sqrt{16}$)/2.(1)

$x_{1}$ =  4 + 4 / 2

$x_{1}$ = 4

$x_{2}$ = 4 - 4 / 2

$x_{2}$ = 0

Logo os intervalos de integração serão {4, 0}

Agora, integrando ambas as funções teremos:

$\int\limits^4_0 {x^{2} -4x} \, dx - \int\limits^4_0 {x} \, dx$=

$\frac{x^{3} }{3} ]^{4} _{0} - \frac{4x^{2} }{2}]^{4} _{0} - \frac{x^{2} }{2}]^{4}_{0$ =

$(\frac{4^{3} }{3} ) - (\frac{4.4^{2} }{2}) - (\frac{4^{2} }{2} ) =$

$\frac{64}{3} -\frac{64}{2} -\frac{16}{2}$ =

$\frac{64}{3} -32-8$ =

$\frac{(64-96-24)}{3}$ =

-56/3

Tiramos o módulo, pois, área não pode ser negativa:

A = 56/3 u.a ou 16,67 u.a

Para saber mais sobre o cálculo de áreas sobre curvas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/53275523

#SPJ2