Question

(FGV-SP) A expressão "sec x - cos x/cossec x - sen x" é equivalente a: a) sec³ x. b) sen² x. c) tg³ x. d)1/tg x e)1/1 - tg² x.

Answer 1

Sabemos que $secx=\dfrac{1}{cosx}$ e $cossecx=\dfrac{1}{senx}$. Substituindo na expressão dada:

$E=\dfrac{secx-cosx}{cossecx-senx}=\dfrac{\frac{1}{cosx}-cosx}{\frac{1}{senx}-senx}\\\\ E=\dfrac{\frac{1-cos^2x}{cosx}}{\frac{1-sen^2x}{senx}}=\dfrac{1-cos^2x}{cosx}\times\dfrac{senx}{1-sen^2x}$

Além disso, como $sen^2x+cos^2x=1$, então $sen^2x=1-cos^2x$ e $cos^2x=1-sen^2x$. Substituindo:

$E=\dfrac{1-cos^2x}{cosx}\times\dfrac{senx}{1-sen^2x}=\dfrac{sen^2x}{cosx}\times\dfrac{senx}{cos^2x}\\\\ E=\dfrac{sen^3x}{cos^3x}=(\dfrac{senx}{cosx})^3\\\\ \boxed{E=tg^3x}\Longrightarrow Letra~C$