Question

como expressar rô sin fi = 1 (coordenadas esfericas) em coordenadas retangulares?

Answer 1

$\rho$ é a distância de um ponto $P(x,\,y,\,z)$ do espaço em coordenadas retangulares até a origem $O;$

$\varphi$ é o menor ângulo medido do semieixo $z$ positivo até o segmento $OP.$


Seja $Q(x,\,y,\,0)$ a projeção do ponto $P$ sobre o plano $xy.$ Dessa forma, o segmento $OQ$ é a projeção do segmento $OP$ sobre o plano $xy.$


Por geometria, vemos que o triângulo $OPQ$ é retângulo em $Q.$ Sendo assim, no espaço em coordenadas retangulares, temos que

$\mathrm{sen\,}\varphi=\dfrac{\|OQ\|}{\|OP\|}\\\\\\\mathrm{sen\,}\varphi=\dfrac{\|OQ\|}{\rho}\\\\\\ \|OQ\|=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \sqrt{x^2+y^2}=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi \end{array}}$


Portanto, a equação

$\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi=1$

em coordenadas esféricas, é expressa em coordenadas retangulares por

$\sqrt{x^2+y^2}=1\\\\ x^2+y^2=1^2\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x^2+y^2=1 \end{array}}$


que é a equação da superfície de um cilindro no espaço $\mathbb{R}^3.$