Question

Para quais valores de K as retas
r1: ( - k - 5) x - 8y + 3 = 0
r2:( k - 1 / 2)x +3y-5=0

são paralelas ? 

Answer 1

r1 e r2 serão paralelas quando tiverem o mesmo coeficiente angular (m).
Equação da reta: y = mx + b

r1: (-k - 5)x - 8y + 3 = 0 -> 8y = (-k - 5)x + 3 -> $y = \frac{(-k - 5)x}{8} + \frac{3}{8}$
r2: (k - 1/2)x + 3y - 5 = 0 -> 3y = -(k - 1/2)x + 5 -> $y = \frac{-(k - 1/2)x}{3} + \frac{5}{3}$

Para os coeficientes serem iguais, portanto:

$\frac{-k-5}{8} = \frac{-(k-1/2)}{3}$

-3k - 15 = - 8k + 4 -> k = 19/5

Answer 2

   m1 = m2

-- 8y + 3 = 0
         ( - k - 5) x  + 3 = 8y

           y = (-k-5) + 3
                     8       8

 r2: ( k - 1 / 2)x +3y-5=0
     3y = - ( k - 1 / 2)x + 5

 y = - ( k - 1 / 2)x + 5
                  3          3
   

      m1 = m2

      
 (-k-5)  =  - (k - 1)/2
     8                3

3(-k-5)  =  - 8(k - 1)
                         2

3(-k-5)  =  - 4(k - 1)
  -3k - 15 = -4k + 4
      -3k + 4k = 4 + 15
 
               k = 19