Question

Um lago poluido pelos rejetos...
Calculo 1

Answer 1

$F(x)=\dfrac{32\,000}{3+\sqrt{x}}$

$F$ fornece a quantidade de peixes no lago, em função da concentração de poluentes $x$ (ppm).

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Calculando a derivada de $F$ em relação a $x:$

$\dfrac{dF}{dx}(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{32\,000}{3+\sqrt{x}} \right )\\\\\\ \dfrac{dF}{dx}(x)=32\,000\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{3+\sqrt{x}} \right )\\\\\\ \dfrac{dF}{dx}(x)=32\,000\cdot \dfrac{\frac{d}{dx}(1)\cdot (3+\sqrt{x})-1\cdot \frac{d}{dx}(3+\sqrt{x})}{(3+\sqrt{x})^2}\\\\\\ \dfrac{dF}{dx}(x)=32\,000\cdot \dfrac{0\cdot (3+\sqrt{x})-1\cdot (0+\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(3+\sqrt{x})^2}\\\\\\ \dfrac{dF}{dx}(x)=32\,000\cdot \dfrac{-1\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(3+\sqrt{x})^2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \dfrac{dF}{dx}(x)=-\,\dfrac{32\,000}{2\sqrt{x}\cdot (3+\sqrt{x})^2} \end{array}}$

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Considerando a variável $t$ como representando o tempo (em anos), pela Regra da Cadeia, segue que

$\dfrac{dF}{dt}(t)=\dfrac{dF}{dx}\big(x(t)\big)\cdot \dfrac{dx}{dt}(t)$


ou usando uma notação mais simplificada,

$\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{dF}{dt}=\dfrac{dF}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt} \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Pelo enunciado, tiramos que

$\dfrac{dx}{dt}=1,0~\mathrm{\dfrac{ppm}{ano}}\,,$ quando $F=8\,000.$

(Chamemos este instante de $t_0$ )


$\bullet\;\;$ Vamos encontrar para que nível de concentração $x\,,$ tem-se $F(x)=8\,000:$

$8\,000=\dfrac{32\,000}{3+\sqrt{x}}\\\\\\ 8\,000=8\,000\cdot \dfrac{4}{3+\sqrt{x}}\\\\\\ 1=\dfrac{4}{3+\sqrt{x}}\\\\\\ 4=3+\sqrt{x}\\\\ \sqrt{x}=4-3\\\\ \sqrt{x}=1\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x_0=1 \end{array}}$


Avaliando a taxa de variação da população de peixes para esta concentração de poluentes:

$\left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}=-\,\dfrac{32\,000}{2\sqrt{1}\cdot (3+\sqrt{1})^2}\\\\\\ \left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}=-\,\dfrac{32\,000}{2\cdot 1\cdot (3+1)^2}\\\\\\ \left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}=-\,\dfrac{32\,000}{2\cdot 4^2}\\\\\\ \left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}=-\,\dfrac{32\,000}{32}\\\\\\ \left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}=-1\,000\mathrm{~\dfrac{peixes}{ppm}}$


De forma que, no instante $t_0$ em questão,

$\left.\dfrac{dF}{dt}\right|_{t=t_0}=\left.\dfrac{dF}{dx}\right|_{x=1}\cdot \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=t_0}~~~~~~\big(\text{onde }1=x(t_0)\big)\\\\\\ \left.\dfrac{dF}{dt}\right|_{t=t_0}=\left(-1\,000\mathrm{~\dfrac{peixes}{ppm}} \right )\cdot\left(1,0\mathrm{~\dfrac{ppm}{ano}}\right)\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\left.\dfrac{dF}{dt}\right|_{t=t_0}=-1\,000\mathrm{~\dfrac{peixes}{ano}} \end{array}}$


Logo, no instante considerado, a população de peixes está decrescendo/diminuindo a uma taxa de $1\,000$ peixes/ano.