Question

Calcule a diagonal de um retângulo com perímetro de 100 m e a área de 600 m quadrados

Answer 1

O retângulo possui 100m de perímetro e 600 m de área. O perímetro pode ser descrito como 2y + 2x = 100m. Dividindo a equação por 2 temos y + x = 50. y = 50 - x e x = 50 - y. A área é descrita por (50 - x) x = 600. 

$(50 - x) x = 600\\ 50x - x^{2} = 600\\ - x^{2} + 50x - 600 = 0\\ det = b^{2} - 4ac\\ det = 50^{2} - 4(-1) (-600)\\ det = 2500 - 2400\\ det = 100\\\\ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{det} }{2a} \\ x_{1} = \frac{-50 + \sqrt{100} }{2(-1)} \\ x_{1} = \frac{-50 + 10 }{-2} \\ x_{1} = \frac{-40 }{-2} \\ x_{1} = 20\\ x_{2} = \frac{-60 }{-2} \\ x_{1} = 30$

Os lados do retângulo são 30 e 20. Então, a diagonal seria a medida da hipotenusa descrita pelos catetos 30 e 20. Pela relação de pitágoras a² = b² + c²
$a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ a^{2} = 30^{2} + 20^{2} \\ a^{2} =900 + 400 \\ a^{2} =1300\\ a = \sqrt{1300}$

Fazendo a fatoração por números primos:
$1300 |2\\ 650|2\\ 325|5\\ 65|5\\ 13|13\\ 1\\\\ \sqrt{1300} = \sqrt{ 2^{2} 5^{2} 13} \\ \sqrt{1300} = 2 \sqrt{ 5^{2} 13} \\ \sqrt{1300} = 2(5) \sqrt{13} \\ \sqrt{1300} = 10 \sqrt{13}$

Então a diagonal mede $10 \sqrt{13}$