Question

Obtenha a equação reduzida da reta que passa por P(2,-3) e é perpendicular a :
a) y= 3x -1
b) 2x-5y-11=0

Answer 1

Quando duas retas são perpendiculares, se multiplicarmos os coeficientes angulares o produto deve ser -1. Portanto, vamos obter o coeficiente angular de cada reta, para assim determinamos o coeficiente da reta que queremos determinar:

a) $y = \boxed{3x}-1 \\\\ coeficiente \ angular \ (m) = 3 \\\\\\ m_{r} \cdot m_{s} = -1 \\\\ 3 \cdot m_{s} = -1 \\\\ \boxed{m_{s} = -\frac{1}{3}}$

Temos o coeficiente, e pelo menos um ponto por onde ela passa, basta jogar na equação fundamental:

$y-y_{0} = m(x-x_{0}) \\\\ y-(-3) = -\frac{1}{3}(x-2) \\\\ y+3 = -\frac{1x}{3}+\frac{2}{3} \\\\ y = -\frac{1x}{3}+\frac{2}{3}-3 \\\\ \boxed{\boxed{y = -\frac{x}{3}-\frac{7}{3}}}$


b) Mesmo caso. Passaremos para a forma reduzida para a gente identificar o coeficiente angular:

$2x-5y-11 = 0 \\\\ 5y = 2x-11 \\\\ y = \frac{2x}{5}-\frac{11}{5} \\\\\ coeficiente \ (m) = \frac{2}{5} \\\\\\ m_{s} \cdot m_{r} = -1 \\\\ \frac{2}{5} \cdot m_{r} = -1 \\\\ m_{r} = \frac{-1}{\frac{2}{5}} \\\\ \boxed{m_{r} = -\frac{5}{2}}$


Substituindo:

$y-y_{0} = m(x-x_{0}) \\\\ y-(-3) = -\frac{5}{2}(x-2) \\\\ y+3 = -\frac{5x}{2}+\frac{10}{2} \\\\ y = -\frac{5x}{2}+5-3 \\\\ \boxed{\boxed{y = -\frac{5x}{2}+2}}$

Answer 2

Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser igual a -1.

a) Dada uma equação da forma reduzida y = ax + b, sendo a e b os coeficientes angular e linear, respectivamente, temos que:

y = 3x - 1

y = ax + b

a.3 = -1

a = -1/3

Para que r passe por P, devemos substituir este ponto e encontrar b:

-3 = (-1/3).2 + b

b = -3 + 2/3

b = -7/3

A equação da reta é:

y = (-x - 7)/3

b) Da mesma forma:

y = (2x - 11)5

y = ax + b

a.(2/5) = -1

a = -5/2

-3 = (-5/2).2 + b

b = -3 + 5

b = 2

A equação é (em verde):

y = -5x/2 + 2

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