Question

Entre 1 e 2 horas o ponteiro das horas de um relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro dos minutos. Em que horas ocorre esse momento ocorre?

Answer 1

Marquemos o instante inicial $t=0\,,$ sendo $t$ o instante medido em minutos, e

$0\le t\le 60$


Supondo que o número "12" do relógio represente a posição angular 0, podemos obter as funções que fornecem a posição dos ponteiros das horas e dos minutos.

Suponhamos também que o sentido horário é o sentido positivo.


No instante inicial,

$\bullet\;\;$ A posição do ponteiro das horas é

$\theta_h(0)=30^{\circ}$


$\bullet\;\;$ A posição do ponteiro dos minutos é

$\theta_m(0)=0^{\circ}$

_________________________

$\bullet\;\;$ A velocidade com que o ponteiro das horas gira é

$\omega_h=360^{\circ}/\mathrm{12~h}\\\\ \omega_h=\dfrac{360^{\circ}}{12\cdot (60\mathrm{~min})}\\\\\\ \omega_h=0,5^{\circ}/\mathrm{min}$

( meio grau por minuto )


$\bullet\;\;$ A velocidade com que o ponteiro dos minutos gira é

$\omega_m=360^{\circ}/\mathrm{h}\\\\ \omega_m=\dfrac{360^{\circ}}{60\mathrm{~min}}\\\\\\ \omega_m=6^{\circ}/\mathrm{min}$

( 6 graus por minuto )

_________________________

Com isso, obtemos as funções que fornecem as posições (em graus) dos ponteiros

$\bullet\;\;$ das horas:

$\theta_h(t)=\theta_h(0)+\omega_h t\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \theta_h(t)=30+0,5t \end{array}}$


$\bullet\;\;$ dos minutos:

$\theta_m(t)=\theta_m(0)+\omega_m t\\\\ \theta_m(t)=0+6t\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \theta_m(t)=6t \end{array}}$

_________________________

Queremos encontrar os instantes em que a diferença entre as posições dos dois ponteiros (em módulo) seja

ou um ângulo de $90^{\circ},$

ou um ângulo de $270^{\circ}$


pois nesses instantes, os ponteiros formam um ângulo reto entre si

_________________________

$\bullet\;\;$ Primeira possibilidade:

$\left|\theta_h(t)-\theta_m(t)\right|=90\\\\ \left|(30+0,5t)-6t\right|=90\\\\ \left|30-5,5t\right|=90\\\\ 30-5,5t=\pm 90\\\\ 30\mp 90=5,5t\\\\ t=\dfrac{30 \mp 90}{5,5}\\\\\\ t=\dfrac{60 \mp 180}{11}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{60+180}{11}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{60-180}{11}~~~(\text{n\~ao serve}) \end{array}$

$t=\dfrac{60+180}{11}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}t_1=\dfrac{240}{11}\mathrm{~min} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Segunda possibilidade:

$\left|\theta_h(t)-\theta_m(t)\right|=270\\\\ \left|(30+0,5t)-6t\right|=270\\\\ \left|30-5,5t\right|=270\\\\ 30-5,5t=\pm 270\\\\ 30\mp 270=5,5t\\\\ t=\dfrac{30 \mp 270}{5,5}\\\\\\ t=\dfrac{60 \mp 540}{11}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{60+540}{11}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{60-540}{11}~~~(\text{n\~ao serve}) \end{array}$

$t=\dfrac{60+540}{11}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}t_2=\dfrac{600}{11}\mathrm{~min} \end{array}}$

_______________________________

Logo, os ponteiros formam um ângulo reto entre si nos seguintes horários:

$\bullet\;\;1\mathrm{~h}+t_1\\\\ =1\mathrm{~h}+\dfrac{240}{11}\mathrm{~min}\\\\\\ \approx 1\mathrm{~h}+21,818181\ldots\mathrm{~min}\\\\ \approx \boxed{\begin{array}{c}1\mathrm{\,h\;}21\mathrm{\,min\;}48\mathrm{\,s} \end{array}}$


$\bullet\;\;1\mathrm{~h}+t_2\\\\ =1\mathrm{~h}+\dfrac{600}{11}\mathrm{~min}\\\\\\ \approx 1\mathrm{~h}+54,545454\ldots\mathrm{~min}\\\\ \approx \boxed{\begin{array}{c}1\mathrm{\,h\;}54\mathrm{\,min\;}33\mathrm{\,s} \end{array}}$