Question

As equações biquadradas são equações escritas da seguinte forma geral:
Ax4 + bx² + c = 0

Para resolver é preciso transforma-la em uma equação do segundo grau. A expressão X4 - 26x² + 26 é igual a 1. Quantos são os valores reais de x que satisfazem essa condição?
a) 1
b)2
c)3
d)4
e)0

Answer 1

$x^4-26x^2+26=1\\\\ x^4-26x^2+26-1=0\\\\ x^4-26x^2+25=0\\\\ (x^2)^2-26x^2+25=0$


Fazendo uma mudança de variável

$x^2=y~~~~~(y\ge 0)$


a equação fica

$y^2-26y+25=0~~~\Rightarrow~~\left\{ \!\begin{array}{l}a=1\\b=-26\\c=25 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-26)^2-4\cdot 1\cdot 25\\\\ \Delta=676-100\\\\ \Delta=576=24^2$


$y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ y=\dfrac{-(-26)\pm \sqrt{24^2}}{2\cdot 1}\\\\\\ y=\dfrac{26\pm 24}{2}\\\\\\ y=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (13\pm 12)}{\diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ y=13\pm 12\\\\ \begin{array}{rcl} y=13+12&~\text{ ou }~&y=13-12\\\\ y=25&~\text{ ou }~&y=1 \end{array}$


Voltando para a variável $x\,,$

$\begin{array}{rcl} x^2=25&~\text{ ou }~&x^2=1\\\\ x=\pm\sqrt{25}&~\text{ ou }~&x=\pm\sqrt{1}\\\\ x=\pm 5&~\text{ ou }~&x=\pm 1 \end{array}$


Logo, o conjunto solução da equação dada é

$S=\{-5,\,-1,\,1,\,5\}$

e portanto, a equação admite quatro soluções reais.


Resposta: alternativa d) 4.