Question

Determine o conjunto verdade da equação
Log(10x²+5) - 2 log(1-x) = 1

Por favor me ajudem!!!!!

Answer 1

$log(10 x^{2} +5)-2log(1-x)=1$


Condição de existência: $\begin{cases}10 x^{2} +5>0\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~\to~logaritmando\\ 1-x>0\end{cases}$

Dada a condição para que log exista, vamos expor a base omitida (porque quando é  omitida a base, sabemos que é base 10):

$log _{10}(10 x^{2} +5)-2log _{10}(1-x)=1$

Aplicando as propriedades abaixo, vem:

logaritmo do quociente: $\boxed{log _{a}b-log _{a}c~\to~log _{a } \frac{b}{c}}$

logaritmo da potência: $\boxed{nlogb~\to~logb ^{n}}$

Definição: $\boxed{log_{a}c=b~\to~a ^{b}=c}$


$log _{10}( \frac{10 x^{2} +5}{log(1-x) ^{2} })=1$

$\frac{(10 x^{2} +5)}{(1-2x+ x^{2}) } =10 ^{1}\\\\ 10 x^{2} +5=10(1-2x+ x^{2} )\\ 10 x^{2} +5=10 x^{2} -20x+10\\ 10 x^{2} -10 x^{2} +5-10=-20x\\ -20x=-5\\ x=(-5)/(-20)\\ x=1/4$

Raiz que sem impedimento algum satisfaz a condição de existência, portanto:

$\boxed{S=\{\frac{1}{4}\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =)