Question

20 PONTOS! DUVIDAS DA PROVA DE AMANHÃ - ME AJUDEM
Determine a inversa de cada bijetora:
a) f(x) = 4x-1
b) f(x) = $\sqrt[5]{x+3}$
c) f(x) = f(x) $\frac{(x-1)}{3+2}$ com x $\neq$ $\frac{2}{3}$

[~],,,Só responder corretamente não precisa explicar para não tomar muito o tempo de vocês :) Responda as que você tenha certeza

Answer 1

Sabendo que $f$ é bijetora, logo admite inversa; segue diretamente da definição de função inversa que

$\boxed{\begin{array}{c}f\big(f^{-1}(x)\big)=x \end{array}}$

( $f$ composta com sua inversa $f^{-1}\,,$ é a função identidade )

________________

a) $f(x)=4x-1$

Logo,

$f\big(f^{-1}(x)\big)=4\,f^{-1}(x)-1\\\\ x=4\,f^{-1}(x)-1\\\\ x+1=4\,f^{-1}(x)\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{4} \end{array}}$


b) $f(x)=\,^{5}\!\!\!\! \sqrt{x+3}$

Então,

$f\big(f^{-1}(x)\big)=\,^{5}\!\!\!\!\sqrt{f^{-1}(x)+3}\\\\ x=\,^{5}\!\!\!\!\sqrt{f^{-1}(x)+3}\\\\ x^5=\big(\,^{5}\!\!\!\!\sqrt{f^{-1}(x)+3}\big)^5\\\\ x^5=f^{-1}(x)+3\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}f^{-1}(x)=x^5-3 \end{array}}$


c) $f(x)=\dfrac{x-1}{3x-2}~~~~~~\text{com }x\ne \dfrac{2}{3}$

Portanto,

$f\big(f^{-1}(x)\big)=\dfrac{f^{-1}(x)-1}{3\,f^{-1}(x)-2}~~~~~~\text{com }f^{-1}(x)\ne \dfrac{2}{3}\\\\\\ x=\dfrac{f^{-1}(x)-1}{3\,f^{-1}(x)-2}\\\\\\ x\cdot (3\,f^{-1}(x)-2)=f^{-1}(x)-1\\\\ 3x\,f^{-1}(x)-2x=f^{-1}(x)-1\\\\ 3x\,f^{-1}(x)-f^{-1}(x)=-1+2x\\\\ (3x-1)\,f^{-1}(x)=2x-1\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}f^{-1}(x)=\dfrac{2x-1}{3x-1} \end{array}}~~~~~~\text{com }x\ne \dfrac{1}{3}$


Bons estudos! :-)