Question

Como resolvo polinômio

Answer 1

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0. 

Onde: 
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. 
n IN 
x C (nos complexos) é a variável. 

GRAU DE UM POLINÔMIO: 

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. 

Exemplos: 
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. 
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. 
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. 

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. 

Valor numérico 

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: 

Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: 
P(x)= x3+2x2+x-4 
P(2)= 23+2.22+2-4 
P(2)= 14 

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). 
Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio. 

Alguns exercícios resolvidos: 

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a. 
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. 
P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 
3a = -10 => a=-10/3 
Resposta: a = -10/3 

2º) Calcular m IR para que o polinômio 
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja: 
a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau 

Resposta: 
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: 
m2-10 => m21 => m1 
m+10 => m-1 
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1. 

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então: 
m2-1=0 => m2=1 => m=±1 
m+10 => m-1 
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. 

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então: 
m2-1=0 => m2=1 => m=±1 
m+1=0 => m=-1 
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. 

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1). 
Resolução: 
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c. 
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). 
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: 
P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3 

Temos um sistema de três variáveis: 

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: 
a=9, b=-34, c=24 
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24. 
O problema pede P(-1): 
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24 
P(-1)= 66 
Resposta: P(-1)= 66 

Polinômios iguais 

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. 

Exemplo: 
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). 
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 
1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) 

Agora igualamos os coeficientes correspondentes: 
Substituindo a 1ª equação na 2ª: 
1+c = -2 => c=-3. 
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: 
a-3=1 => a=4. 
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 
4+b=1 => b=-3. 
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. 
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos. 
DEU PRA TER UMA NOÇÃO??