Question

Essa integral é por substituição: ∫2x ln (x^2 + 1) dx/( x^2 + 1) e eu não consegui desenvolver ,alguém pode resolve-la passo a passo para mim ?

Answer 1

$\displaystyle\int2x\dfrac{ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx$

Fazendo $u=ln(x^{2}+1)$, temos $du=\dfrac{1}{x^{2}+1}\dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)dx=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx$

Daí,

$\displaystyle\int2x\dfrac{ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\int ln(x^{2}+1)\dfrac{2x}{x^{2}+1}dx\\\\\\\int2x\dfrac{ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\int udu\\\\\\\int2x\dfrac{ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\dfrac{1}{2}u^{2}+C$

Voltando para a variável x:

$\boxed{\boxed{\int2x\dfrac{ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\dfrac{1}{2}[ln(x^{2}+1)]^{2}+C}}$