Question

Valor da soma desta seguinte serie:
$\sum_{n=2}^{\infty }((2^{-2n+1})(3^{n-1})-\frac{(-e)^{n+1}}{5^{n-1}}))$

Answer 1

Aconselho a fatorar o máximo possível ambos somatórios para podermos julgar qual série estamos trabalhando ou de maneira análoga poder constatar se diverge ou converge.

Aplicando propriedade de somatório

n                 n          n
∑ ak+bk =  ∑ ak  + ∑  bk
k=i             k=i        k=i

Chamando, o somatória de ak de "an" e o somatório de "bk" de bn

$\\ a_{n} = (2^-^2^n^+^1)(3^n^-^1) \\ \\ a_{n} = (2^-^2^n*2^1)(3^n*3^-^1) \\ \\ a_{n} = (2^-^2)^n*2*3^n* \frac{1}{3} \\ \\ a_{n} = (\frac{1}{4} )^n*3^n* \frac{2}{3} \\ \\ a_{n} = \frac{2}{3} (\frac{3}{4} )^n$

Olhando para "an" constatamos que,


$1\ \textgreater \ |r| \ \textgreater \ 0$

Pois |r| = 3/4

Logo, trata-se de uma Pg infinita.

Então converge!

$S_{n} = \frac{ a_{1} }{1-r}$


Como o somatório começa em "k = 2"

Deveremos achar "a1 substituindo k = 2"

$\\ a_{2} = \frac{2}{3} ( \frac{3}{4} )^2 \\ \\ a_{2} = \frac{2}{3} * \frac{9}{16} \\ \\ a_{2} = \frac{18}{48} \\ \\ a_{2} = \frac{6}{16} \\ \\ a_{2} = \frac{3}{8}$

Então o somatória de "an" será:

$\\ S_{n} = \frac{ \frac{3}{8} }{1- \frac{3}{4} } \\ \\ S_{n} = \frac{ \frac{3}{8} }{\frac{1}{4} } \\ \\ S_{n} = \frac{3}{8}* \frac{4}{1} \\ \\ S_{n} = \frac{3}{2}$

Agora iremos, fatorar o segundo somatório.



$b_{n} = \frac{(-e)^n^+^1}{5^n^-^1} \\ \\ = \frac{(-e)^n*e^1}{5^n*5^-^1} \\ \\ = 5e(- \frac{e}{5} )^n$



Novamente temos uma Pg infinita

Pois,

$1\ \textgreater \ |r| \ \textgreater \ 0$

onde, r = (-e/5)

Como esse somatório se inicia em k = 2.

Nosso termo b1 será b2.

$\\ b_{2} = 5e(- \frac{e}{5} )^2 \\ \\ b_{2} = 5e( \frac{e^2}{25} ) \\ \\ b_{2} = \frac{5e^3}{25} \\ \\ b_{2} = \frac{e^3}{5}$

então,

$\\ T_{n} = \frac{ \frac{e^3}{5} }{1-( -\frac{e}{5} )} \\ \\ T_{n} = \frac{ \frac{e^3}{5} }{1+\frac{e}{5} } \\ \\ T_{n} = \frac{ \frac{e^3}{5}}{ \frac{5+e}{5} } \\ \\ T_{n} = \frac{e^3}{5+e}$

Logo, a soma total será:


$\\ S_{t} = S_{n} -T_{n} \\ \\ S_{t} = \frac{3}{2} - \frac{e^3}{5+e} \\ \\ S_{t} = \frac{3(5+e)-2e^3}{2(5+e)} \\ \\ S_{t} = \frac{15+3e-2e^3}{10+2e}$