Question

Utilizando o critério da derivada segunda, calcule os valores de máximo e de mínimo para a funcação abaixo no intervalo x= -11 até x= 11
f(x)=-1/3*x³+36x

A-qual o valor de x que apresenta o valor máximo da função? Qual é este valor máximo?
B-qual o valor de x que apresenta o valor minimo da função? Qual é este valor minimo?
C-qual a taxa de variação em x=2

Answer 1

Olá!
   
    Temos: $f'(x)=-x^2+36 \Rightarrow f"(x)=-2x$

Note que a primeira derivada se anula em x = 6 ou x = -6. Assim, f'(x) > 0 em ]-6, 6[ (pois é uma função quadrática com o coeficiente quadrático negativo) e é negativa para todo x < -6 ou todo x > 6.

Isto é, a função é decrescente em 
$(-\infty, -6)\; U \; (6, +\infty)$

E é crescente em 
$(-6, 6)$

Isso nos diz que $x=-6$  e  $x=6$   são pontos onde há mudança da monotonicidade, ou seja, passa de decrescente para crescente e depois de crescente para decrescente. Em outras palavras, são candidatos a pontos de mínimo e máximo, respectivamente.

Vejamos quanto vale a derivada segunda nestes pontos:

$f"(-6) = -2 \cdot (-6) = 12 \ \textgreater \ 0 \\ \\ f"(6) = -2 \cdot 6 = -12\ \textless \ 0$

Como a derivada primeira zera nestes pontos e a derivada segunda é positiva quando $x=-6$   e negativa quando $x=6$  , segue que 

$x=6$   é ponto de máximo
$x=-6$   é ponto de mínimo

Logo, 

$f(6)= -\dfrac{1}{3}\cdot 6^3+36 \cdot 6 = -2\cdot 36+6\cdot 36 = 36(6-2) = \\ \\ = 36 \cdot 4 = 144 \\ \\ \\ f(-6)=-\dfrac{1}{3}\cdot (-6)^3+36\cdot (-6)=2\cdot 36-6\cdot 36 = 36(2-6)=\\ \\ = 36\cdot (-4) = -144$

Ainda, 

$f'(2)=-(2)^2+36 = -4+36 = 32$


Portanto,

A) O valor de x que apresenta o valor máximo da função é 6. E esse valor máximo é 144.

B) O valor de x que apresenta o valor mínimo da função é -6. E esse valor mínimo é -144.

C) A taxa de variação em x=2 é de 32.


Bons estudos!