Question

Determine a quantidade de números de oito dígitos que contém exatamente 4 noves.

É um exercício sobre Combinações. A resposta é 433755.
Tentei fazer de várias formas, mas não encontrei essa resposta. Alguém é capaz de me explicar?

Answer 1

=> Este exercício implica uma resolução por partes, note que

...Os restantes dígitos podem ser ocupados por algarismos repetidos (não há qualquer restrição relativa a isso)

...O 1º digito NÃO PODE ser ZERO


Assim vamos calcular o numero de combinações que comecem por 9, como exemplo abaixo:

|9|_|_|_|_|_|_|_|


..note que restam 7 dígitos ..e 3 deles vão ser ocupados pelo algarismo "9" resultando em C(7,3) possibilidades de colocação ...e os restantes 4 dígitos vão ser ocupados pelos 9 algarismos restantes (de 10 - 1 = 9) sem qualquer restrição relativa a duplicações!

Assim o número (N) de combinações desta "configuração será dada por:

N = C(7,3) . (9.9.9.9) 

N = (35) . (6561)

N = 229635 ..combinações para esta configuração |9|_|_|_|_|_|_|_|



Agora resta-nos calcular a "configuração" seguinte:

|Z|_|_|_|_|_|_|_|

..note que Z ..NÃO PODE ser ZERO ...nem "9" ..logo temos 8 possibilidades para o 1º digito

restam-nos 7 dígitos ..que vão ser ocupados por quatro "9" donde resultam as possibilidades dadas por C(7,4) ..e por mais 3 algarismos DIFERENTES de "9" ...donde resultam as possibilidades dadas por (9.9.9)

Assim o número (N) de combinações desta "configuração será dada por:

N = (8) . C(7,4) . (9.9.9)

N = (8) . (35) . (729)

N = 204120 ..combinações para esta configuração |Z|_|_|_|_|_|_|_|


E pronto o Total (T) de Combinações será dada por:

T = 229635 + 204120

T = 433755 <-- resultado final


Espero ter ajudado