Question

Para que valores de K temos : a ) Sen X = K + 1 b ) Sen X = K^2 + K + 1 c ) Cos X =2K+7

Answer 1

Vamos lá:

a) Já respondida em outro questionario...

b) $sen x = k^{2} + k + 1$

Como na outra questão, sen x deve ter valores entre -1 e 1. Então:

$-1 \leq sen x \leq 1$
$-1 \leq k^{2} + k + 1 \leq 1$
$-1 - 1 \leq k^{2} + k + 1 - 1 \leq 1 - 1$
$-2 \leq k^{2} + k \leq 0$

Adicionando 1/4 na equação do meio, também adicionamos 1/4 nos cantos também:

$-2 + \frac{1}{4} \leq k^{2} + k + \frac{1}{4} \leq 0 + \frac{1}{4}$
$\frac{-7}{4} \leq k^{2} + k + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$
$\frac{-7}{4} \leq (k + \frac{1}{2}) ^{2} \leq \frac{1}{4}$

A partir deste ponto, teremos que resolver a equação com um valor da ponta de cada vez:

Na ponta da esquerda, se tirarmos a raiz (no caso, o -7/4), não teremos resposta no conjunto dos reais, portanto, teremos que desconsiderá-lo.

Já na ponta da esquerda, teremos:

$(k + \frac{1}{2}) ^{2} \leq \frac{1}{4}$
$k + \frac{1}{2} \leq + ou -\sqrt{ \frac{1}{4} }$
$k + \frac{1}{2} \leq + ou - \frac{1}{2}$

Ou seja, temos 2 valores: + ou -...

1ª. $k + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$
$k \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$k \leq 0$

2ª$k + \frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2}$
$k \leq -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$k \leq -1$

Porém, se substituirmos k por -1 na equação, teremos o valor que satisfaz sen x. Porém, colocando o valor menor que -1 não satisfará a equação. Então:

$-1 \leq k \leq 0$

Ou seja, k tem valores entre -1 e 0

c) cos x = 2k + 7

Mesma coisa:

$-1 \leq cos x \leq 1$
$-1 \leq 2k + 7 \leq 1$
$-1 - 7 \leq 2k + 7 - 7 \leq 1 - 7$
$-8 \leq 2k \leq -6$
$-\frac{8}{2} \leq \frac{2k}{2} \leq - \frac{6}{2}$
$-4 \leq k \leq -3$

Ou seja, k tem valores entre -4 e -3

Espero ter ajudado.