Question

Retas paralelas e perpendiculares a partir de suas equaçoes?

Answer 1

Quando duas retas se interceptam, dizemos que são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes.Veja exemplo ao lado.

Determinar o ponto de interseção destas retas equivale a encontrar a solução (única) do sistema simultâneo de equações  e  . Resolvendo este sistema obtemos o par (  ) que fornece as coordenadas do ponto de interseção das duas retas. Na seção Praticando você poderá explorar um pouco mais essas idéias.

Duas retas com a mesma declividade são paralelas ou coincidentes. Se duas retas têm a mesma declividade e algum ponto em comum então necessariamente, elas são coincidentes. Caso contrário, as retas serão paralelas, isto é, retas paralelas são aquelas que têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

A animação ao lado ilustra estas afirmações. Repare que estas retas ou não têm ponto comum ou coincidem.
As retas  e  , que têm a mesma declividade  , são coincidentes (repare que estas retas passam pelo ponto (  )).

Neste caso, as equações  e  são ditas equivalentes, pois definem a mesma reta. (Repare que qualquer ponto (x,y) que seja satisfaça a primeira equação também satisfaz a segunda.) 

Retas paralelas têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

Duas retas que se interceptam formando um ângulo reto são ditas perpendiculares.

Agora é com você
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Usando semelhança de triângulos, é fácil provar que duas retas com declividades  e  são perpendiculares se e somente se  .Suponhamos que as retas sejam perpendiculares como mostra a figura abaixo. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de interseção e traçamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas.Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com os comprimentos indicados. A semelhança implica que  , o que prova a relação que queremos. Este raciocínio pode ser facilmente invertido e portanto se , então as retas são perpendiculares.

Exemplo 2Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5,2) e é paralela à reta  .SoluçãoA equação da reta dada pode ser escrita como  . Logo,  . Como retas paralelas têm a mesma declividade, a equação da reta procurada é  ou .Exemplo 3Mostre que as retas  e  são perpendiculares.SoluçãoAs equações dadas podem ser escritas como  e  . Assim, seus coeficientes angulares são  e  , respectivamente. Como  , as retas são perpendiculares.