Question

[50 pts]

5) Calcular a integral indefinida :

Se puder explicar passo a passo ficaria agradecido.

$\int\limits^ {} \frac{dx}{(6-x^2)^ \frac{3}{2} } \,$

Answer 1

Olá lucas!

Temos a integral:


$\int\limits \frac{1}{ \sqrt{(6-x^2)^3} } {} \, dx$

Façamos uma substituição trigonométrica:

Do tipo,

$x = aSenu$

Onde a = √6


$x = \sqrt{6} Senu$

Derivando em ambos os lados:

$dx= \sqrt{6} Cosudu$
-----------------------------------

Substituindo na integral os dados obtidos:



Lembrando que " 1-Sen²x = Cos²x, Teremos:

$\\ = \int\limits \frac{1}{ \sqrt{6-( [\sqrt{6}Sen^2u)^2]^3 } } {} \, \sqrt{6} Cosudu \\ \\ = \int\limits \frac{1}{ \sqrt{[6-6Sen^2u]^3} } {} \, \sqrt{6} Cosudu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[6(1-Se^n2u)]^3} } } \, \sqrt{6} Cosudu \\ \\ = \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{[6Cos^2]^3} } } \, \sqrt{6} Cosudu \\ \\ = \int\limits \frac{1}{ \sqrt{216Cos^6} } {} \, \sqrt{6} Cosudu \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt{216} } * \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{Cos^6u} } } \, \sqrt{6} Cosudu$


$\\ = \frac{1}{ \sqrt{216} } * \int\limits{ \frac{1}{ cos^3u} \, \sqrt{6} Cosudu$

$\\ = \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{216} } * \int\limits{ \frac{1}{ cos^2u} \, du \\ \\ = \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{216} } * \int\limits{ Sec^2u\, du$

Por definição:

∫sec²xdx = tgx

Logo,


$= \\ \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{216} } Tgu + C$

Temos que achar o valor de "u"

Tinhamos que:


$\\ x = \sqrt{6} Senu \\ \\ Senu = \frac{x}{ \sqrt{6} }$

Aplicando arcsen em ambos os lados:


$\\ ArcsenSenu = Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } ) \\ \\ u = Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } )$

Então a integral passa a ser:

$\frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{216} } tg(Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } ))$

Passando raiaz de 6 para dentro de raiaz de 216:

$\\ = \sqrt{ \frac{6}{216} } tg(Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } )) \\ \\ = \sqrt{ \frac{1}{36} } tg(Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } )) \\ \\ = \frac{1}{6} tg(Arcsen( \frac{x}{ \sqrt{6} } ))+K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{dx}{\left(6-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\\\\\\=\int \frac{1}{6\cos ^2\left(u\right)}du\\\\\\=\frac{1}{6}\cdot \int \frac{1}{\cos ^2\left(u\right)}du\\\\\\=\frac{1}{6}\tan \left(u\right)\\\\\\=\frac{1}{6}\tan \left(\arcsin \left(\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}x\right)\right)\\\\\\=\frac{x}{6\left(6-x^2\right)^{\frac{1}{2}}}$

$\to \boxed{\sf =\frac{x}{6\left(6-x^2\right)^{\frac{1}{2}}}+C}$