1) Resolva por escalonamento, cada um dos sistemas a seguir, classificando-os em SPD, SPI ou SI:
a) 2x + y + z=7
4x + y - 3z =5
2x + 3y + 2z= 7
b) 3x - y + 2z=3
x + 2y + z= 1
6x + 5y + 5z=3
c) 3x + 2y - 5z=3
x + 3y=1
2x - y - 5z=1
d) x + 4y = -3
x - y = 2
3x + 7y = -4
2) (UNICAMP-SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha do Pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha do Pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Respostas
Começando pelo questão 2 (problema
- Escrevendo o sistema de equações com três variáveis:
a + c + p = 0,5
5a + 20p + 16p = 5,75
c = (a + p)/3
- Isolando o c na 3ª equação; 3c = a + p
substituindo (a + p) na 1ª equação por 3c : a + c + p = 0,5
3c + c = 0,5 ∴ c = 0,125
voltando ao sistema:
a + 0,125 + p = 0,5
5a + 20 (0,125) + 16p = 5,75
0,125 = (a + p)/3
a + p = 0,375
5a + 2,5 + 16p= 5,75
0,125 . 3 = a + p
a + p = 0,375
5a + 16p = 3,25
0,375 = a + p
Como a primeira e a terceira equações são iguais, obtemos o sistema 2x2
a + p = 0,375
5a + 16p = 3,25
Resolvendo
a + p = 0,375
5a + 16p = 3,25
a+p= 0,375 (-5) ⇒ -5a - 5p = -1,875
5a + 16p = 3,25
11p = 1,375 ⇒p=0,125
a + 0,125 = 0,375 ⇒ a = 0,250
Encontramos a = 0,250 kg; c= 0,125kg e p= 0,125kg
Resposta:
Como o problema pede as quantidades expressas em gramas, lembrando que 1 kg = 1 000g, obtemos: 250g de amendoim, 125 g de castanha de cajú e 125 g de castanha - do - pará
1ª Questão
a) 2x + y + z = 7
4x + y -3z = 5
2x + 3y + 2z = 7
1ª equação: 2x + y + z = 7 (-2) -4x -2y - 2z = -14
2ª equação: 4x + y - 3z = 5 4x + y - 3z = 5
-y - 5z = -9
1ª equação: 2x + y + z = 7 (-1) -2x -y - z = -7
3ª equação: 2x + 3y + 2z = 7 2x +3y +2z = 7
2y + z = 0
-y - 5z = -9 (2) -2y - 10z = 18
2y + z = 0 2y + z = 0
- 9z = 18
z = - 2
2y + z = 0
2y - 2 = 0
2y = 2
y = 1
2x + y + z = 7
2x -2 + 1 = 7
2x = 8
x = 4
S = {4, 1, -2} ⇒ SPD (Sistema Possível e Determinado)
b) 3x - y + 2z = 3
x + 2y + z = 1
6x + 5y + 5z = 3
1ª equação: 3x - y + 2z =3 3x -y +2z = 3
2ª equação: x + 2y + z = 1 (-3) -3x -6y -3z =-3
-7y - z = 0
1ª equação: 3x - y+ 2z = 3 (-2) -6x + 2y -4z = -6
3ª equação: 6x + 5y + 5z =3 6x + 5y + 5z = 3
7y + z = -3
-7y -z = 0
7y + z = -3
0 = -3
S = ∅ (Sistema Impossível ou sem solução)
c) 3x + 2y - 5z = 3
x + 3y + 0z = 1
2x - y - 5z = 1
1ª equação: 3x + 2y - 5z = 3 3x + 2y - 5z = 3
2ª equação: x + 3y + 0z = 1 (-3) -3x - 9y + 0z = -3
-7y -5z = 0
1ª equação: 3x + 2y - 5z = 3 (2) 6x + 4y -10z = 6
3ª equação: 2x - y -5z =1 (-3) -6x + 3y +15z = -3
7y + 5z = 3
-7y - 5z = 0
7y + 5z = 3
0 + 0 = 3 S = ∅ SI (Solução Impossível ou sem solução)
d) x + 4y = -3
x - y = 2
3x + 7y = -4
1ª equação: x + 4y = -3 (-1) -x -4y = 3
2ª equação: x - y = 2 x - y =2
-5y = 5
y = 5/-5
y= -1
x + 4y = -3
x + 4(-1) = -3
x -4 = -3
x = -3 + 4
x = 1
y=-1
S= {1,-1}
SPD (Sistema Possível e Determinado)