Question

Calcule a integra indefinida

i) $\int\ {}( \sqrt{x}- \frac{1}{ \sqrt{x} }) \, dx$

Answer 1

Oi Lucas

∫ (√x - 1/√x) dx = ∫ √x dx -  ∫ 1/√x dx

∫ √x dx = x^(1/2 + 1)/(1/2 + 1) = x^(3/2)/(3/2) = 2*x^(3/2)/3

∫ 1/√x dx = ∫ x^(-1/2) dx = x^(-1/2+1)/(1-1/2) = x^(1/2)/(1/2) = 2√x

∫ (√x - 1/√x) dx = 2√x³/3 - 2√x + C

.

Answer 2

Olá Luca!

Temos a integral:

$\\ \int\limits \sqrt{x} {} \, dx - \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{x} } } \, dx =$

Passaremos √x em formato de potência...

$\\ = \int\limits {x^ \frac{1}{2} }-\frac{1}{x^ \frac{1}{2} } \, dx \\ \\ = \int\limits {x^ \frac{1}{2} }- x^-^ \frac{1}{2} dx$

Utilizando a regra da integral por potência:


$\int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} ,n \neq -1$

Então,

$\\ = \frac{x^ \frac{1}{2} ^+^1}{\frac{1}{2} ^+^1} - \frac{x^-^ \frac{1}{2} ^+^1}{-^ \frac{1}{2} ^+^1} \\ \\ = \frac{x^ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{2} } - \frac{x^ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} } \\ \\ = \frac{2x^ \frac{3}{2} }{3} -\frac{2x^ \frac{1}{2} }{ 1 }$


Passando em formato de raiz:

$\\ = \frac{2 \sqrt[2]{x^3} }{3} - 2\sqrt[2]{x}$

Deixando claro que não devemos nos esquecer da constante "k"


$\\ = \frac{2 \sqrt{x^3} }{3} - 2\sqrt{x} +K$