Question

Sejam a e b números reais quaisquer. Assinale a alternativa correta:
a) Se a < b, então $\frac{1}{a}$ > $\frac{1}{b}$

b) √a²+2ab+b²' = a + b

c) Se $\frac{2a+b}{a}$ ≥ $\frac{b+2}{a}$, então a ≥ 1 ou a < 0

d) Se a² - b² = a + b, então a = 1 + b

e) √$\frac{2}{3}$ + √$\frac{4}{3}$ = √2

Gabarito: letra c
Preciso de ajuda com a justificativa das questões

Answer 1

a) FALSA

Tome $a=-1$ e $b=1.$ Obviamente, temos que

$-1<1~~\Rightarrow~~a<b~~~~~~\mathbf{(i)}$


Tomando os inversos, temos que

$-1<1\\\\ \dfrac{1}{-1}<\dfrac{1}{1}\\\\\\ \dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$

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b) FALSA

$\sqrt{a^2+2ab+b^2}\\\\ =\sqrt{(a+b)^2}\\\\ =\left|a+b\right|=\left\{\! \begin{array}{rl} a+b&,\,\text{se }a+b\ge 0\\\\ -a-b&,\,\text{se }a+b<0 \end{array} \right.$


Se tomarmos $a=-1$ e $b=0,$ por exemplo, temos

$\sqrt{a^2+2ab+b^2}\\\\ =\sqrt{(-1)^2+2\cdot (-1)\cdot 0+0^2}\\\\ =\sqrt{1+0+0}\\\\ =\sqrt{1}\\\\ =1\ne a+b$

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c) VERDADEIRA

Resolvendo a inequação para a variável $a.$

$\dfrac{2a+b}{a}\ge \dfrac{b+2}{a}$


Multiplicando os dois lados da equação por $a^2>0,$ o sinal da desigualdade se mantém, pois estamos multiplicando os dois lados por um número positivo:

( observe que não multiplicamos por $a,$ pois não sabemos qual é o sinal de $a,$ ok? )

$\dfrac{2a+b}{a}\cdot a^2\ge \dfrac{b+2}{a}\cdot a^2\\\\\\ (2a+b)\cdot a\ge (b+2)\cdot a\\\\ 2a^2+ab\ge ab+2a\\\\ 2a^2+ab-ab-2a\ge 0\\\\ 2a^2-2a\ge 0\\\\ 2a\cdot (a-1)\ge 0~~~~(\rightarrow~~\text{inequa\c{c}\~ao produto})$


Estudando o sinal dos fatores do lado esquerdo:

$\begin{array}{cc} 2a&\underline{\,----\,}\underset{0}{\circ}\underline{\,++++\,}\underset{1}{\bullet}\underline{\,++++\,}\\\\ (a-1)&\underline{\,----\,}\underset{0}{\circ}\underline{\,----\,}\underset{1}{\bullet}\underline{\,++++\,}\\\\\\ 2a\cdot (a-1)&\underline{\,++++\,}\underset{0}{\circ}\underline{\,----\,}\underset{1}{\bullet}\underline{\,++++\,} \end{array}$


Como queremos que o produto seja $\ge 0,$ o nosso intervalo de interesse é

$\boxed{\begin{array}{c}a<0~\text{ ou }~a\ge 1\end{array}}$

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d) FALSA

Tome $a=b=0.$ verifica-se imediatamente que

$a^2-b^2=a+b$

mas $a\ne 1+b.$

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e) FALSA

$\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}} \right )^{\!\!2}\\\\\\ =\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right )^{\!\!2}+2\cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{4}{3}}+\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}} \right )^{\!\!2}\\\\\\ =\dfrac{2}{3}+2\cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{4}{3}}+\dfrac{4}{3}\\\\\\ =\dfrac{6}{3}+2\cdot \sqrt{\dfrac{8}{9}}\\\\\\ =2+2\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\\\\\ =2+\dfrac{4\sqrt{2}}{3}>2$


Logo,

$\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}} \right )^{\!\!2}>2\\\\\\\\ \therefore~~\sqrt{\dfrac{2}{3}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}>\sqrt{2}$

( se é maior, não é igual, ok? )

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A alternativa correta é a alternativa C.


Bons estudos! :-)