Question

Resolvendo, em R, a equação (1+x) + (1+x)elevado a 2 + (1+x)elevado a 3 +...=3, obtém-se x igual a:

Answer 1

Raquel,

Se fores observar telescopicamente (observando a mudança de termo a termo), observará que cada termo se alterará de forma geométrica, ou seja:

1 termo: $(x+1)$

2 termo: $(x+1)^2=(x+1).(x+1)$

3 termo: $(x+1)^3=(x+1).(x+1).(x+1)$

Com esse padrão, concluímos que se trata de uma progressão geométrica de razão $q=(x+1)$.

Porém, essa progressão dos termos é infinita e é possível calcular a soma de termos regidos por uma P.G. Infinita pela seguinte relação:

$Si=\frac{a_1}{1-q}$  

Onde a1 é o primeiro termo e q é a razão geométrica.

Aplicando isso à nossa igualdade:

$(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3+...=3$

Só que:

$Si=(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3+...=3$

Logo, tendo $a_1=(x+1)$ e $q=(x+1)$:


$\frac{x+1}{1-(x+1)}=3 \\\\ \frac{x+1}{1-x-1}=3\\\\ \frac{x+1}{-x}=3\\\\ x+1=-3x\\\\ x=- \frac{1}{4}$

Espero ter ajudado,