Question

encontre a solução real da inequação (x-2)(x-4)(-x+3)≤0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a solução real (domínio) da inequação abaixo:

(x-2)*(x-4)*(-x+3) ≤ 0

Veja que temos o produto entre três funções do 1º grau, cujo resultado terá que ser MENOR ou igual a zero. Temos f(x) = x-2; g(x) = x-4; e h(x) = -x + 3.
Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma dessas equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais e daremos, no fim de tudo, o domínio da inequação inicial.
Assim, teremos:

f(x) = x - 2 ---> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2
g(x) = x-4 ---> raízes: x - 4 = 0 ---> x = 4
h(x) = -x+3 ---> raízes -x + 3 = 0 ---> - x = - 3 ---> x = 3.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações dadas. Assim:

a) f(x) = x-2 .....- - - - - - - - - -  (2) + + + + + + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = x-4 ....- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4) + + + + + + + + + ...
c) h(x) = -x+3... ..+ + + + + + + + + + + +(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ....
d) a*b*c................+ + + + + + +(2)- - - - -(3)+ + ++(4)- - - - - - - - - - - - - ...

Como queremos que que o produto f(x)*g(x)*h(x) seja menor ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos (ou que seja igual a zero) no item "d" acima, que nos dá o resultado do produto entre as três funções.
Assim, os intervalos que nos interessarão serão estes:

2 ≤ x ≤ 3 , ou x ≥ 4 --------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3 , ou x ≥ 4}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = [2; 3] ∪ [4; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.