Question

(UFAM) A função y = f(x) e dada implicitamente pela equação 3y² + 2xy - x² = 3. Sabe-se que, para todo x E D(f), f(x) > 0 e que f admite uma reta tangente T que e paralela a reta
5y - x = 2. Determine a equação da reta T.

Answer 1

5y - x = 2 ---> y = (1/5)x + 2/5
entao a pendiente da reta é $m=1/5$

Derivemos implicitamente a equação $3y^2+2xy-x^2=3$

$(3y^2+2xy-x^2)'=3'\\ \\ 6yy'+2y+2xy'-2x=0\\ \\ (6y+2x)y'=2x-2y\\ \\ y'=\dfrac{x-y}{3y+x}\\ \\ \\ \text{como \'e paralela \'a reta dada ent\~ao: } \dfrac{x-y}{3y+x}=\dfrac{1}{5}\to x=2y\\ \\ \\ \text{Luego...}\\ \\ 3y^2+2xy-x^2=3\\ \\ 3y^2+2(2y)y-(2y)^2=3\\ \\ \boxed{y=1}\to \boxed{x=2}\\ \\ \\ \text{Reta tangente: }\\ \\ y-1=\dfrac{1}{5}(x-2)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{x-5y+3=0}}$