Question

O $\lim_{x \to \-infty} (x + \sqrt{x^2 + 3x + 2} )$ é -$\frac{3}{2}$. Qual é o desenvolvimento dessa questão? Como eu faço?

Answer 1

$\lim_{x \to- \infty} x+ \sqrt{x^2+3x+2}$

Vamos multiplicar pelo conjugado.

Lembre-se que:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$


Fazendo,

a = x

b = √(x²+3x+2)
 

Para que apareça a² -b² , devemos alterar o sinal de x + √x²+3x+2 pelo menos:

$\\ \lim_{x \to- \infty} x+ \sqrt{x^2+3x+2} * \frac{x- \sqrt{x^2+3x+2} }{x- \sqrt{x^2+3x+2} } \\ \\ \lim_{x \to- \infty} \frac{(x+ \sqrt{x^2+3x+2} )(x- \sqrt{x^2+3x+2} )}{x- \sqrt{x^2+3x+2} } \ \textless \ = (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \\ \\ \lim_{x \to- \infty} \frac{x^2-( \sqrt{x^2+3x+2)}^2 }{x- \sqrt{x^2+3x+2} } \\ \\ \lim_{x \to- \infty} \frac{x^2-(x^2+3x+2)}{x- \sqrt{x^2+3x+2}} \\ \\ \lim_{x \to- \infty} \frac{x^2-x^2-3x-2}{x- \sqrt{x^2+3x+2} }$

$\\ \lim_{x \to- \infty} \frac{-3x-2}{x- \sqrt{x^2+3x+2} }$


Colocando x² em evidência dentro da raiz:


x² +3x+2 = x²( 1 + 3x/x² + 2/x²)

$\\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x- 2 }{x- \sqrt{x^2( 1+\frac{3x}{x^2} }+ \frac{2}{x^2} )}$

Colocando "x em evidência no numerador:

3x-2 = x( 3 - 2/x)


$\lim_{x \to \infty} \frac{x(-3 - \frac{2}{x}) }{x- \sqrt{x^2(1+ \frac{3x}{x^2} } + \frac{2}{x^2} )}$


Ao substituirmos "x = ∞"



$- \frac{2}{x} , \frac{3x}{x^2} , \frac{2}{x^2} = 0$

Então:


$\\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x-0}{x- \sqrt{x^2( 1+0)} } \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{x- \sqrt{x^2} }$

Como "x é negativo,

√x² = |x| = -x


$\\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{x-|x| } \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{x-(-x)} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{2x} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$