Question

f(x) = −x^3 + 7x^2 + 200x + 300. Achar a concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Alguém me ajude pfv!!! obg

Answer 1

Olá, boa noite!

Para determinarmos a concavidade dessa função. Iremos calcular a raiz da derivada de ordem primeira.

$\\ f(x)' = (-x^3+7x^2+200x+300)' \\ \\ f(x)' = -3x^2+14x+200$

Agora calcularemos a raiz dessa função.

$\\ f(x)' = 0 \\ \\ -3x^2+14x+200 = 0$

Calculando baskara:

a = -3
b = 14
c = 200

Δ = b² -4ac 

Δ = 14² -4*(-3)(200)

Δ = 196 +2400

Δ = 2596

$\\ x = \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{DELTA} }{2a} \\ \\ x = \frac{-14\frac{+}{-} \sqrt{2596} }{-6}$

√2596 ≈ 50,95


$\\ x = \frac{-14 \frac{+}{-} 50,95}{-6} \\ \\ \\ \left \{ {{x'= \frac{-14-50,95}{-6} = 10,825} \atop {x''= \frac{-14+50,95}{-6} = -5,158}} \right.$

Agora devemos calcular a derivada de ordem dois.

$\\ f(x)'' = [f(x)']' \\ \\ f(x)'' = (-3x^2+14x+200)' \\ \\ f(x)'' = -6x + 14$

Observe:

Se  F(c)'' > 0 , é ponto de mínimo  

Se F(c)'' < 0 , é ponto de máximo.

c = Ponto crítico.

Temos que, c = 10,825 ou -5,158

Substituindo-se:


$\\ f(x)'' = -6x+14 \\ \\ f(10,825)'' = -6(10,825)+14 = -50,95 \\ \\ f(10,825)'' \ \textless \ 0, maximo!$

Para "c" = -5,158


$\\ f(x)'' = -6x+14 \\ \\ f(-5,158)'' = -6(-5,158)+14 = 44,948 \\ \\ f(-5,158)'' \ \textgreater \ 0, minimo!$
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Concavidade para cima,

 em x = -5,158

Concavidade para baixo,

em x = 10,825
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O ponto de inflexão será a raiz da derivada segunda.

$\\ f(x)'' = 0 \\ \\ -6x+14 = 0 \\ \\ -6x = -14 \\ \\ x = \frac{14}{6} \\ \\ x = \frac{7}{3} = 2,333.....$