Question

Num plano existem 20 pontos dos quais 3 nunca são colineares, exceto 6 que estão sobre uma mesma reta. Encontre o número de retas que esses pontos determinam :

Answer 1

Nota prévia: Este exercício também tem mais de uma forma de resolução.

..desta vez vou apresentar as 2 Propostas de Resolução:

--> A 1ª Proposta de Resolução segue a mesma linha de raciocínio de exercícios anteriores (ao TOTAL de possibilidades são retiradas as que NÃO interessam) ...ou por outras palavras calculando as combinações em "bloco" e subtraindo um bloco ao outro.

--> A  2ª Proposta de Resolução "partindo" o raciocínio em "partes" dado que este método será bastante útil para exercícios mais complicados ...por exemplo cálculo do número de triângulos definidos pelos pontos dados.


=> 1ª PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

...note que para definir uma reta são necessários apenas 2 pontos.

Assim:
 
--> O total de combinações possíveis de combinar "2 pontos" de 20 possíveis resulta de ..C(20,2)

--> O número de combinações que NÃO interessam ...são todas as combinações de "2 pontos" obtidas a partir dos 6 pontos colineares ...porque representam a mesma reta ..logo são "repetições" ..donde resulta C(6,2)

..nota importante: quando retiramos TODAS as combinações de "2 pontos" dos 6 pontos colineares NÃO PODEMOS ESQUECER ..que esses 6 pontos representam uma reta única ..e temos de adicionar essa reta ao cálculo

RESOLVENDO:

N = C(20,2) - C(6,2) + 1

N = [20!/2!(20-2)!] - [6!/2!(6-2)!] + 1

N = (20!/2!18!) - (6!/2!4!) + 1

N = (20.19.18!/2!18!) - (6.5.4!/2!4!) + 1

N = (20.19/2!) - (6.5/2!) + 1

N = (380/2) - (30/2) + 1

N = 190 - 15 + 1

N = 175 + 1

N = 176 <--- números de retas possíveis



=> 2ª PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

...recordando, temos:

....um TOTAL de 20 pontos, sendo

--> 6 pontos colineares
--> 14 NÃO colineares

Assim:

..pelos 6 pontos colineares passa 1 e só 1 reta ..logo apenas 1 possibilidade

..por cada "2 pontos" dos 14 pontos não colineares também passa uma reta ..donde resultam as possibilidades dadas por C(14,2)

..também passa uma reta por cada ponto dos 6 colineares "combinado" com cada um dos 14 pontos não colineares ..donde resultam as possibilidades dadas por  6 . 14  

Assim 

N = (1) + C(14,2) + (6 . 14)

N =  (1) + [(14!/2!(14-2)!)] + (84)

N =  (1) + (14!/2!12!) + (84)

N =  (1) + (14.13.12!/2!12!) + (84)

N =  (1) + (14.13/2!) + (84)

N =  (1) + (182/2) + (84)

N =  (1) + (91) + (84)

N = 176 <--- números de retas possíveis



Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

176

Explicação passo a passo:

....