Question

Determine o valor correto de Z para que X2ª (x elevado ao quadrado) + 20X + Z seja um trinômio quadrado perfeito

Answer 1

Primeiro observe o seguinte:

Considerando $z$ um número real não-negativo, temos que

$(x+\sqrt{z})^2=x^2+2\cdot x\cdot \sqrt{z}+\big(\sqrt{z}\big)^2\\\\ (x+\sqrt{z})^2=x^2+2x\cdot \sqrt{z}+z~~~~~~\mathbf{(i)}$


Observamos que o lado direito é um trinômio quadrado perfeito.

Igualando $\mathbf{(i)}$ com a expressão dada no enunciado, devemos ter

$x^2+2x\cdot \sqrt{z}+z=x^2+20x+z\\\\ 2x\cdot \sqrt{z}=20x\\\\ 2x\sqrt{z}-20x=0\\\\ 2x\cdot (\sqrt{z}-10)=0$


A igualdade acima já é válida para $x=0.$ Então, considerando $x\ne 0,$ devemos ter

$\sqrt{z}-10=0\\\\ \sqrt{z}=10\\\\ z=10^2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}z=100 \end{array}}$


Bons estudos! :-)