Question

(Ufg 2004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:
a) 17/2
b) 17
c) 2√17  
d) 4√17
e) (√17)/2 

Sei que a alternativa correta e letra A), mas preciso da resoluçao, usando formulas de geometria analítica, não modulo.

Answer 1

Olá, Celso.

Como se pode ver no desenho em anexo, a base b do triângulo é a distância entre os pontos A e C e sua altura h é a distância entre o ponto B e a reta determinada por AC.

Base:
$b=d_{AC}=\sqrt{(2-7)^2+(1-4)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

Equação da reta determinada por AC:
1) Coeficiente angular: $m=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{4-1}{7-2}=\frac35$
2) Coeficiente linear: $y_A=mx_A+p\Rightarrow 1=\frac35\cdot2+p\Rightarrow p=1-\frac65=\frac{5-6}{5}=-\frac15$
3) Equação da reta: $y=\frac35x-\frac15\Rightarrow 5y=3x-1\Rightarrow -3x+5y+1=0$

Altura (distância do ponto B à reta determinada por AC):
$h=d_{B,AC}=\frac{|-3\cdot3+5\cdot5+1|}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{|-9+25+1|}{\sqrt{34}}=\frac{17}{\sqrt{34}}$

Área:
$\frac{bh}{2}=\frac{\sqrt{34}\cdot\frac{17}{\sqrt{34}}}2=\boxed{\frac{17}{2}}$

Answer 2

Resposta: 17/2

Explicação passo-a-passo:

Você pode achar a área do triângulo usando a fórmula S=|D|/2, onde S é a área e D o determinante.

Montando a matriz utilizando as coordenadas fornecidas:

D= |2 1 1|2 1

|3 5 1|3 5

|7 4 1|7 4

Lembrando que na diagonal secundária é necessário trocar o sinal.

-35-8-3+10+7+12 = D

D=|17|

> Aplicando na fórmula:

S=17/2