Question

1-Para calcular os custos de produção de uma empresa utiliza-se a seguinte
função:

C(q) = q2 + 10q + 30.

Qual será o custo de produção para 240 unidades ?

Obs : Considere 240

2-Em um comércio a receita é representada pela função y = -5x2 + 80x e a
função custo, representada pela função y = 20x + 124

a. Apresente a expressão da função
Lucro.

b. O lucro máximo é obtido quando a quantidade de unidades
vendidas é igual a:

c. haverá prejuízo quando a quantidade de unidades
vendidas for:

d. a receita máxima e o lucro máximo serão respectivamente
iguais a:

Obs : Considere o numero de unidades será 240

Answer 1

1-Para calcular os custos de produção de uma empresa utiliza-se a seguinte 
função:

C(q) = q2 + 10q + 30. 

Qual será o custo de produção para 240 unidades ?

q = 240 => C(240) = (240)² + 10(240) + 30 => C(240) =  57600 + 2400 + 30 =>
C(240) = 60030
O Custo desta produção, em Reis, R$ 60.030,00

2-Em um comércio a receita é representada pela função y = -5x2 + 80x e a 
função custo, representada pela função y = 20x + 124

a. Apresente a expressão da função 
Lucro.
O lucro (L) é a diferença da receita com o custo, logo:
R(x) = -5x² + 80x
C(x) = 20x + 124
L(x) = -5x² + 80x - 20x + 124
L(x) = -5x² + 60x + 124 <===== FUNÇÃO LUCRO

b. O lucro máximo é obtido quando a quantidade de unidades 
vendidas é igual a:
O lucro máximo ocorre quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), para isso usamos as coordenadas do vértice (xv, yv) para achar o lucro máximo (yv) e a quantidade máxima (xv)
xv = -b/a
yv = -Δ/4a
L(x) = -5x² + 60x + 124; p/ a = -5 (a<0) CONCAVIDADE P/ BAIXO // b = 60 // c = 124
Δ = (60)² - 4(-5)(124) = 3600 + 2480 => Δ = 6080
yv = -6080/4(-5) => yv = 304 <=====LUCRO MÁXIMO (se substituir na equação vai encontrar justamente xv)
xv = -60/2(-5) => xv = 6 <========QUANTIDADE MÁXIMA
c. haverá prejuízo quando a quantidade de unidades 
vendidas for:
O prejuízo ocorre quando o C(x) > R(x), ou começa quando C(x) = R(x)
R(x) = C(x) => -5x² + 80x = 20x + 124 => -5x² + 60x - 124 = 0 (-1) =>
5x² - 60x + 124 = 0
Δ = (60)² - 4(5)(124) = 3600 - 2480 = 1120
x' = -b + √Δ/2a = 60 + 33,46/2 =  46,73
x" = -b - √Δ/2a = 60 - 33,46/2 = 13,27
Terá prejuízo quando x < 13,27 e x > 46,73
----------13,27++++++++++++++++46,73-----------
d. a receita máxima e o lucro máximo serão respectivamente 
iguais a: p/ q = 6 (quantidade máxima)
R(x) = -5x² + 80x => R(x) = -5(6)² + 80(6) = -180 + 480 = 300 
Custo máximo já calculado na letra b.