Question

O conjunto S= {1 , 1 – t , (1 – t)2 , (1 – t)3 } gera P3 (ℝ), É FALSO afirmar que :

 

A) O conjunto S é LD

B) S é base de P3 (ℝ)

C) A dimensão de P3 (ℝ) é 4

D) 0V pertence a [ S]

E) O conjunto S não gera o ℝ3

Answer 1

Olá, Leidy Braga.

 

A) FALSO.

 

Sejam  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}$  tais que: 

 

$<var>\lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2(1-t) + \lambda_3(1-t)^2 + \lambda_4(1-t)^3=0 \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_2t + \lambda_3(1-2t+t^2) + \lambda_4(1-3t+3t^2-t^3)=0 \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_2t + \lambda_3 - 2\lambda_3t + \lambda_3t^2 + \lambda_4 - 3\lambda_4t + 3\lambda_4t^2 - \lambda_4t^3 = 0\\ \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 + (- \lambda_2 - 2\lambda_3 - 3\lambda_4)t + (\lambda_3 + 3\lambda_4)t^2 - \lambda_4t^3 = 0\\ \Rightarrow </var>$

 

$<var>\begin{cases} \lambda_4=0 \\ \lambda_3+\underbrace{3\lambda_4}_{=0}=0 \Rightarrow \lambda_3=0 \\ - \lambda_2 - \underbrace{2\lambda_3}_{=0} - \underbrace{3\lambda_4}_{=0} \Rightarrow \lambda_2=0 \\ \lambda_1 + \underbrace{\lambda_2}_{=0} + \underbrace{\lambda_3}_{=0} + \underbrace{\lambda_4}_ {=0} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 0 \end{cases}</var>$

 

Como  $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0,$  então S é LI e não LD.

 

B) VERDADEIRO.

 

S é base de  $P^3(\mathbb{R})$  se, e somente se, qualquer polinômio de terceiro grau no conjunto dos números reais puder ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S.

 

Assim, devem existir  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}$  tais que:

 

$<var>\lambda_1.1 + \lambda_2(1-t) + \lambda_3(1-t)^2 + \lambda_4(1-t)^3=a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0 \\ \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 + (- \lambda_2 - 2\lambda_3 - 3\lambda_4)t + (\lambda_3 + 3\lambda_4)t^2 - \lambda_4t^3=\\=a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0 \Rightarrow </var>$

 

$<var>\begin{cases} \lambda_4=-a_3 \\\\ \lambda_3+\underbrace{3\lambda_4}_{=-3a_3}=a_2 \Rightarrow \lambda_3=a_2+3a_3 \\\\ - \lambda_2 - \underbrace{2\lambda_3}_{=2(a_2+3a_3)} - \underbrace{3\lambda_4}_{=-3a_3}=a_1 \Rightarrow -\lambda_2-2(a_2+3a_3)+3a_3=a_1 \Rightarrow \\ \lambda_2=3a_3-2(a_2+3a_3)-a_1 \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = a_0 \Rightarrow \lambda_1 = a_0 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4 \end{cases}</var>$

 

Portanto, dado qualquer polinômio p(x) de grau 3 com coeficientes quaisquer  $a_0,a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R},$  existem  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}$ tais que p(x) pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S.

 

Basta escolhermos  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$  conforme calculado no sistema acima, em função de  $a_0,a_1,a_2,a_3$  dados em p(x).

 

(C) VERDADEIRO.

 

S é formado por 4 elementos.

Então, qualquer polinômio p(x) de grau 3 escrito como combinação linear dos elementos de S possui 4 coordenadas em relação à base S.

 

(D) FALSO.

 

Para t=1, o conjunto S é dado por: 

 

$<var>S=(1,0,0,0)\neq(0,0,0,0)=0_v \Rightarrow \not\exists t\ |\ 0_v\in S\Rightarrow 0_v \notin S</var>$

 

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