Question

Um número N, formado por 4 algarismos distintos, tem as seguintes propriedades:
- o algarismo das unidades é um divisor de 20, mas não é divisor de 30;
- o algarismo das dezenas é um divisor de 15, mas não é divisor de 10;
- o algarismo das centenas é o maior divisor comum de 36 e 45.

Se N é divisível por 9, assinale o que for correto.

01) A soma dos algarismos de N é um múltiplo de 5.
02) N é múltiplo de 4.
04) N > 2900.
08) N é divisível por 6.

Gabarito: 04 - 08

Answer 1

u: (1, 2) ,4,(5)
           1, 2, 3 excluídos (são divisores de 30)
d: (1),3,(5) (1,5 excluídos (são divisores de 10)
c: 9
                     N = X934

01)
         Para ser múltiplo de 5 X = 4  NÃO (2 algarismos iguais)
02)
         NÃO (2 últimos algarismos não cumprem critério de divisibilidade por 4)
04)
         Para ser divisível por 9
              X + 9 + 3 + 4 = X + 16 = 2 + 16 = 18 (divisor de 9)
                 N = 2934
08) 
         OK (N divisível por 6)

                                   ALTERNATIVAS CORRETAS 04) E 08) 

Answer 2

N é um número formado por 4 algarismos distintos "a", "b", "c" e "d".

  a   b   c   d 
 

"a", "b", "c", "d" são necessariamente elementos do conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 

e o "a" não pode ser o algarismo 0 (zero).


De acordo com o enunciado

• "d" é um divisor de 20, mas não é divisor de 30.

divisores de 20:    P = {1, 2, 4, 5}

divisores de 30:    Q = {1, 2, 3, 5, 6}


P – Q = {4}

( conjunto dos divisores de 20, que não são divisores de 30. É um conjunto unitário )

Logo, já podemos concluir que

d = 4


• "c" é um divisor de 15, mas não é divisor de 10.

divisores de 15:    R = {1, 3, 5}

divisores de 10:    S = {1, 2, 5}


R – S = {3}

( conjunto dos divisores de 15, que não são divisores de 10. É um conjunto unitário )

Logo, já podemos concluir que

c = 3


• "b" é o maior divisor comum entre 36 e 45:

mdc(36, 45) = 9

b = 9

___________

Ainda não sabemos qual o algarismo "a" das unidades de milhar. Mas o número N é escrito da seguinte forma.

 a   9   3   4 

_____________

Se N é divisível por 9, então a soma de seus algarismos é divisível por 9:

a + b + c + d = 9k,     para algum k natural

a + 9 + 3 + 4 = 9k

a + 16 = 9k        (i)


Isto significa que (a + 16) deve ser um múltiplo de 9.


Mas como "a" é um algarismo, o valor mínimo possível para "a" é 1, e o valor máximo possível para "a" é 9:

1 ≤ a ≤ 9


Somando 16 a todos os membros da desigualdade

1 + 16 ≤ a + 16 ≤ 9 + 16

17 ≤ a + 16 ≤ 25


(a + 16) é um múltiplo de 9, que está entre 17 e 25. A única possibilidade é

a + 16 = 18

a = 18 – 16

a = 2

__________

O número N é 2 934.

___________

Verificando as proposições.

01) FALSA

A soma dos algarismos de N é

2 + 9 + 3 + 4 = 18, que não é um múltiplo de 5.


02) FALSA

2 934 não é múltiplo de 4, pois ao fazermos a divisão

2 934 = 2 932 + 2

2 934 = 4 · 733 + 2

o resto é 2.


04) VERDADEIRA

2 934 > 2 900


08) VERDADEIRA

2 934 = 6 · 489

então é divisível por 6.


Bons estudos! :-)