Question

resolva as equações biquadrada<br />a(x⁴-7x²+12=0<br />B)x⁴+5x²+6=0<br />c)9x⁴-13x²+4=0<br />d)x⁴-18x²+32=0

Answer 1

Resolva as equações biquadrada

BIQUADRADA ( 4 raizes)

faremos  ARTIFICIO

a)
x⁴-7x²+12=0
x⁴ = y²
x² = y
x⁴ - 7x² + 12 = 0   fica
y² - 7y + 12 = 0   ( equação do 2º grau)
a = 1
b = -7
c = 12
Δ = b² - 4ac
Δ = (-7)² - 4(1)(12)
Δ = + 49 - 48
Δ = + 1   --------------> √Δ = 1  porque   (√1 =1)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
y = ----------------
              2a


y' = -(-7) - √1/2(1)
y' = + 7 - 1/2
y' = + 6/2
y' = + 3
e
y" = -(-7) + √1/2(1)
y" = + 7 + 1/2
y" = + 8/2
y" = 4

VOLTANDO no ARTIFICO
x² = y
y = 3
x² = 3
x = + - √3
e
x² = y
y = 4
x² = 4 
x = + - √4                     (√4 = 2)
x = + - 2

as 4  raizes
x' = - √3
x" = + √3
x'" = - 2
x"" = + 2

B)x⁴+5x²+6=0   ( instrução tudo acima)
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ + 5x + 6 = 0
y² + 5y + 6 = 0
a = 1
b = 5
c =6
Δ = b² -4ac
Δ = (5)² - 4(1)(6)
Δ = 25 - 24
Δ = 1                       (√Δ = 1)

 se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
y = ----------------
              2a

y' = - 5 - √1/2(1)
y' = -5 - 1/2
y' = - 6/2
y' = - 3
e
y" = - 5 + √1/2(1)
y'' = - 5 + 1/2
y" = - 4/2
y" = - 2

voltantdo 

x² = y
y = - 3
x² = - 3
x = + - √-3  ( NÃO existe raiz REAL)
E
X² = Y
y = - 2
x² = - 2
x = + - √-2( NÃO existe raiz real)

RAIZ com índice PAR e com número NEGATIVO
assim 4 raizes
x', x", x'", x"" = ∅

  
c)
9x⁴-13x²+4=0
x⁴ y²
x² = y

9x⁴ - 13x² + 4=  0  fica
9y² - 13y + 4 = 0
a = 9
b = - 13
c = 9
Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4(9)(4)
Δ = + 169 - 144
Δ = + 25--------------------> √Δ = 5   ( porque √25 = 5)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
y = ----------------
              2a

y' = -(-13) - √25/2(9)
y' = + 13 - 5/18
y' = 8/18   ( divide AMBOS por 2)
y' = 4/9
e
y" = -(-13) + √25/2(9)
y" = + 13 + 5/18
y" = 18/18
y" = 1

atrificio
x² = y
y = 4/9
x² = 4/9
x = + - √4/9                   (√4 = 2  e √9 = 3)
x = + - 2/3
e
x2 = y
y = 1
x² = 1
x = + - √1                (√1 = 1)
x = + - 1

4 raizes
x' =  - 2/3
x" =+ 2/3
x'"=  - 1
x"" = + 1


d)

x⁴-18x²+32=0y² - 18y + 32 = 0
a = 1
b = - 18
c = 32
Δ = b² - 4ac
Δ  = (-18)² - 4(1)(32)
Δ = 324 - 128
Δ = 196                          √Δ = 14     (√196 = 14)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
y = ----------------
              2a

y' = - (-18) - √196/2(1)
y' = + 18 - 14/2
y' = + 4/2
y' = 2
e
y" = -(-18) + √196/2(1)
y" = + 18 + 14/2
y" = 32/2
y" = 16

artificio
x² = y
y = 2
x² = 2
x = + - √2
e
x² = y
y = 16
x² = 16
x = + - √16              (√16 = 4)
x = + - 4

4 raizes
x' = - √2
x" = + √2
x'" = - 4
x"" = + 4