Question

Suponha que você está deitado na praia, perto do Equador, vendo o sol se pôr em um mar calmo e, liga um cronômetro no momento em que o sol desaparece. em seguida, você se levanta, deslocando os olhos para cima de uma distância H = 1,70 m e desliga o cronômetro no momento em que o sol desaparece novamente. Se o tempo indicado pelo cronômetro é t = 11,1 s, qual é o raio da terra?

Answer 1

$(r+h)^2=d^2+r^2 \\ \\ r^2+h^2+2hr=d^2+r^2 \\ \\ d^2=h^2+2hr \\ \\ \\ d^2=2hr d=r\cdot \tan \theta \\ \\ r=\frac{2h}{\tan^2\theta} \\ \\ \frac{\theta}{360^{\circ}}=\frac{t}{24h} \\ \\ t=11,1s=11,1s\cdot \left(\frac{1h}{3600s}\right)=\frac{111}{36000}h \\ \\ \theta=\frac{360\cdot \frac{111}{36000}}{24} \\ \\ \theta=0,04625^{\circ} \\ \\ r=\frac{2h}{\tan^2(0,04625)} \\ \\ r=\frac{2\cdot 1,7}{(8,0721\cdot 10^{-4})^2} \\ \\ \boxed{r \,\,\approx\,\,5,2x\110^{6}\,m}}$

Answer 2

Fazendo um triângulo retângulo partindo do centro da Terra com o primeiro cateto (adjacente) sendo igual ao raio da Terra, o segundo igual a “s” (oposto) e a hipotenusa sendo igual a h+r (altura da pessoa somado ao raio da Terra), poderemos fazer pitágoras.  

r²+s²=(r+h)² -> r²+s²=r²+2.r.h+h² -> “s²=2.r.h+h²”  

Sabe-se que em 24 h (86400 s) a terra gira 360º, em 11,1 s a terra gira um ângulo “α”, assim temos:  

360/α=86400/11,1 -> 3996=86400.α -> α=0,04625

º  

Agora voltando para o triângulo,  

tg[α]=s/r -> s=tg[α].r (aplicando na fórmula do pitágoras)  

tg²[α].r²=2.r.h+h² (a distância h² é desprezível para esse cálculo)  

tg²[α].r²=2.r.h -> r=2.h/tg²[α] -> r=2.1,7/tg²[α] -> r=3,4/tg²[0,04625º]  

r=3,4/tg²[0,04625º] = “5,22 mega metros”

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