Question

achei a equacao da reta tangente resultado: y=-1/4x+b, na questão.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(X)= 1/X no ponto de abscissa 2.(esta aq se precisar (http://brainly.com.br/tarefa/944004).
Agora tenho q esboçar o grafico, ql numero uso para esbocar? Como fica o grafico?

Answer 1

Equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x=p:$

$t:~y-f(p)=f'(p)\cdot (x-p)$

_________

Para esta questão, temos

$f(x)=\dfrac{1}{x}$

e $p=2$


• Calculando o valor da função em $p=2:$

$\boxed{\begin{array}{c}f(2)=\dfrac{1}{2} \end{array}}$


• Calculando a derivada de $f$ no ponto dado:

$f'(p)=\underset{x\to p}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\\\\\\\\ \therefore~~f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\\\ =\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2} \right )\cdot \dfrac{1}{x-2}\\\\\\ =\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\left(\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x}{2x} \right )\cdot \dfrac{1}{x-2}\\\\\\ =\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2-x}{2x}\cdot \dfrac{1}{x-2}\\\\\\ =\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{-1\cdot (x-2)}{2x}\cdot \dfrac{1}{x-2}\\\\\\ =\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{-1}{2x}$

$=\dfrac{-1}{2\cdot 2}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}f'(2)=-\dfrac{1}{4} \end{array}}$

______

Equação da reta tangente:

$t:~y-f(2)=f'(2)\cdot (x-2)\\\\ t:~y-\dfrac{1}{2}=-\,\dfrac{1}{4}\cdot (x-2)\\\\\\ t:~y-\dfrac{1}{2}=-\,\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2}{4}\\\\\\ t:~y=-\,\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{2}\\\\\\ t:~y=-\,\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}t:~y=-\,\dfrac{1}{4}\,x+1 \end{array}}$


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Para esboçar a reta tangente, basta que tomemos dois pontos da reta. Um a gente já conhece que é o ponto

$P_1\big(2,\,f(2)\big)\\\\ P_1\!\left(2,\,\dfrac{1}{2} \right )$


O outro ponto a gente pode obter fazendo uma das coordenadas iguais a zero na equação da reta tangente, por exemplo:

Para $x=0,$ obtemos

$y=1$


A reta tangente passa pelo ponto $P_2(0,\,1).$


• O gráfico de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ (a função recíproca) é uma hipérbole, cujas assíntotas são os eixos coordenados.

Veja que a função não está definida em $x=0.$ Logo, o eixo $y$ é uma assíntota vertical para o gráfico da função.

Quando $x$ tende a $+\infty,$ o valor da função tende a zero, mas por valores maiores que zero;

Quando $x$ tende a $-\infty,$ o valor da função também tende a zero, mas por valores menores que zero;

Então, o eixo $x$ é uma assíntota horizontal ao gráfico de $f.$


É fácil verificar que $f$ é decrescente. Note que

• Se $0<b<a,$ temos

$\dfrac{1}{ab}>0~~\text{(positivo)}$


Multiplicando a desigualdade por $\dfrac{1}{ab},$ o sentido é mantido:

$0<\dfrac{b}{ab}<\dfrac{a}{ab}\\\\\\ 0<\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\\\\\\ 0<f(a)<f(b)$

Portanto a função é estritamente decrescente para $x>0.$


De forma análoga, verificamos que a função também é estritamente decrescente para $x<0.$


• A representação geométrica do gráfico da função e da reta tangente ao gráfico no ponto dado segue em anexo.


Bons estudos! :-)