Question

Função Quadrática:Para construir um cercado em forma de um retângulo, Frederico tinha recursos financeiros para fazer apenas 80 metros de cerca e resolveu aproveitar uma parte reta de um muro para economizar e construiu, com três lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área desse cercado?

Answer 1

Vou resolver da mesma forma que resolvi uma outra questão, só analisando o $\Delta$.

i) Vamos trabalhar, por enquanto, com a única coisa que nos foi dada, que é a quantidade de cerca que foi usada. Um retângulo possui quatro lados, mas em um desses lados ele não usou cerca, portanto a quantidade de cerca utilizada para delimitar o terreno foi usada criando dois lados de mesma medida e um de uma outra medida. Chamando de $x$ e $y$ as dimensões do terreno formado teremos:

$2x+y=80\Rightarrow y=80-2x$

É sabido que a área de um terreno retangular é igual ao produto de suas dimensões, logo, chamando a área de $S$, teremos:

$S=x.y\Rightarrow S=x(80-2x)\Rightarrow S=80x-2x^2\\ \\ \boxed{2x^2-80x+S=0}$

ii) Para que seja possível existir esse terreno tem que existir a dimensão $x$, ou seja, tem que ser possível resolver a equação acima. Para que uma equação tenha resposta é necessário que $\Delta\geq0$. Daí:

$(-80)^2-4.2.S\geq0\\ \\ 6400-8S\geq0\\ \\ 8S\leq6400\\ \\ \boxed{S\leq800 \ m^2}$

Note que $S$ é menor ou igual que 800, portanto o maior valor que $S$ pode assumir é quando ocorre a igualdade. Logo a área máxima do terreno será de 800 m².

R: $\bf{\underline{S=800\ m^2}}$