Question

Qual é a função f cuja derivada é dada por f'(x) = ln(2x) e f(1) = 0 e ?

Answer 1

Vamos integrar por partes. 

Chamaremos : 

u= ln(2x)               dv= dx
du= 1/x dx               v=x 

$\int\limits {u} \, dv = u.v- \int\limits {v} \, du \\ \\ \int\limits {ln(2x)} \, dx = ln(2x).x- \int\limits {x} \, \frac{1}{x} dx \\ \\ \int\limits {ln(2x)} \, dx = ln(2x).x- \int\limits {1} \, dx \\ \\ \int\limits {ln(2x)} \, dx = \boxed{ ln(2x).x- x+C}$

$f(x)= ln(2x).x- x +C \\ \\ se f(1)=0 \\ \\ ln(2.1).1-1+C=0 \\ \\ ln(2)+C=1 \\ \\ C=1-ln(2) \\ \\ Portanto: \\ \\ \boxed{ f(x)= ln(2x).x-x+1-ln(2)}$

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Answer 2

Resposta:

x·㏑(2x) - x - ㏑(2) + 1

Explicação passo-a-passo:

Exatamente como fagnerdi explicou, contudo no AVA, mais uma vez, não tem alternativa com a resposta correta.