Question

A derivada de uma função é definida por: f'(x)= lim->0 f(x+h)-f(x)/h Para o caso, em que estamos calculando em um ponto especifico, a derivada basta substituir o valor em x. Uma função definida como: g(x)= 1/x a) a derivada no ponto x=1 equivale a 1 b) a derivada no ponto x=1 equivale a -1 c) a derivada no ponto x=1 equivale a -2 d) a derivada no ponto x=1 equivale a zero e) a derivada no ponto x=1 equivale a 2

Answer 1

Olá!

Temos:
g(x) = 1/x -> Para calcular a derivada da função no ponto x = 1, teremos que fazer:
g'(1) = lim [g(1+h)-g(1)]/h -> Vamos descobrir quem é g(1+h) e g(1). Temos:           h->0

g(1) = 1/1 = 1
g(1+h) = 1/(1+h)

Substituindo na fórmula, vem:

g'(1) = lim [1/(1+h) - 1]/h = lim [1-(1+h)/(1+h)]/h = lim [1-1-h/1+h]/h = 
           h->0                        h->0                             h->0

= lim -h/1+h/h/1 = lim -h/1+h . 1/h = lim -1/1+h = -1/1+0 = -1/1 = -1
   h->0                   h->0                     h->0

Logo: g'(1) = -1

∴ Alternativa B

Espero ter ajudado! :)

Answer 2

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$\Large\boxed{\underline{\rm Derivada~no~ponto}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}}}}$

$\sf f(x)=\dfrac{1}{x}\\\sf f(1)=\dfrac{1}{1}=1\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1}\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}=\dfrac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x-1}\cdot\dfrac{1-x}{x}\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\diagup\!\!\!x-\diagup\!\!\!1}\cdot\dfrac{-1\diagup\!\!\!(x-\diagup\!\!\!1)}{x}\\\Large\boxed{\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{1}=-1}$