Question

efetuem as divisoes indicadas
a)2+3i/1+2i
b)1/3+2i
c)1+3i/1-i
d)1+i/i
e)1-i/1+i

Answer 1

a)

2 + 3i
--------
1 + 2i

   2 + 3i     1 - 2i         3 - 4i + 3i - 6i²          3 - i - 6.(-1)        3 - i + 6
  --------- .  -------- =    --------------------- =    ---------------- =    ----------
   1 + 2i     1 - 2i         1 - 2i + 2i - 4i²             1 - 4.(-1)            1 + 4

(9/5) - (1/5)i

b)

    1
--------
3 + 2i
 
  1         3 - 2i               3 - 2i                  3 - 2i         3 - 2i
------- .  -------- =   ------------------ =        ---------- =   ---------
3 + 2i     3 - 2i      9 - 6i + 6i - 4i²          9 - 4.(-1)       9 + 4

(3/13) - (2/13)i

c) 

1 + 3i      1 + i       1 + 3i + i + 3i²       1 + 4i + 3.(-1)      1 + 4i - 3
-------- .   ------- =   ------------------ =    ------------------ =   ------------
 1 - i       1 + i            1 + i - i - i²              1 - (-1)                1 + 1

- 2 + 4i
  --------
      2

- (2/2) + (4/2)i

- 1 + 2i

d) 

1 + i     (- i)      - i - i²      - i - (-1)      - i + 1
------ .  ----- =    ------  =   --------- =   -------- = 1 - i
   i         (-i)        - (i)²         - (-1)           1

e)

1 - i       1 - i       1 - i - i + i²        1 - 2i - 1       - 2i
------ .    ----- =    ------------- =      ----------- =   ------ = - i
1 + i      1 - i        1 + i - i - i²         1 - (-1)          2

Answer 2

As divisões dos números complexos resultam em:

a)2+3i/1+2i = (8-i ) / 5

b)1/3+2i = (3 - 2i) / 13

c)1+3i/1-i = -1 + 2i

d)1+i/i = 1 - i

e)1-i/1+i = -i

Números complexos

Uma das formas de se representar os números complexos é a forma algébrica (z = a + bi), onde a é a sua parte real a e bi sua parte imaginária. A unidade imaginária i vale √-1 , logo, i² = -1.

A divisão entre dois números complexos é dada por: $\frac{a+bi}{d+fi}= \frac{(a+bi)*(d-fi)}{(d+fi)*(d-fi)}$

A resultante se dará pela multiplicação termo a termo.

a) 2+3i / 1+2i

$\frac{2+3i}{1+2i}= \frac{(2+3i)*(1-2i)}{(1+2i)*(1-2i)}$

Multiplicando termo a termo no numerador, tem-se:

(2+3i)×(1-2i) = (2×1)+(2×-2i)+(3i×1)+(3i×-2i)

                  =    2  +  -4i    +  3i   +  -6i²

                  =    2   -   4i     +  3i   -  6i²    

                  =    2 - i - 6i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 2 - i - (6×-1) =

                                                            = 2 - i -  (-6)  =

                                                            = 2 - i + 6  =

                                                            = 8 - i  

Multiplicando termo a termo no denominador, tem-se:

(1+2i)×(1-2i) = (1×1)+(1×-2i)+(2i×1)+(2i×-2i)

                 =    1  +  -2i  +  2i   +  -4i²

                 =    1  -    2i  +  2i   -   4i²

                 =    1 - 4i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 1 - (4×-1) =

                                                            = 1 - (-4)  =

                                                            = 1  + 4  =

                                                            = 5

Juntando numerador com o denominador, a resultante será:  $\frac{8-i }{5 }$.

b) 1 / (3+2i)

$\frac{1}{3+2i}= \frac{1*(3-2i)}{(3+2i)*(3-2i)}$

Multiplicando termo a termo no numerador, tem-se:

1×(3-2i) = (1×3) + (1×-2i)

            =    3  +  -2i    

            =    3   -   2i  

Multiplicando termo a termo no denominador, tem-se:

(3+2i)×(3-2i) = (3×3)+(3×-2i)+(2i×3)+(2i×-2i)

                   =    9    +   -6i   +  6i    +  -4i²

                   =    9     -    6i   +  6i     -   4i²

                   =    9 - 4i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 9 - (4×-1) =

                                                            = 9 - (-4)  =

                                                            = 9  + 4  =

                                                            = 13

Juntando numerador com o denominador, a resultante será: $\frac{3-2i}{13}$.

c) 1+3i / 1-i

$\frac{1+3i}{1-i}= \frac{(1+3i)*(1+i)}{(1-i)*(1+i)}$

Multiplicando termo a termo no numerador, tem-se:

(1+3i)×(1+i) = (1×1)+(1×i)+(3i×1)+(3i×i)

                =   1  +   i  +  3i    + 3i²

                =   1  +       4i      + 3i²

             

Como i² = -1, substitui-se na equação: 1 + 4i + (3×-1) =

                                                            = 1 + 4i + (-3) =

                                                            = 1 + 4i - 3 =

                                                            =  - 2 + 4i

Multiplicando termo a termo no denominador, tem-se:

(1-i)×(1+i) = (1×1)+(1×i)+(-i×1)+(-i×i)

             =    1  +    i  +  -i   +  -i²

             =    1  +    i  -    i   -   i²

             =    1 - i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 1 - (-1) =

                                                            = 1 + 1 =

                                                            = 2

Juntando numerador com o denominador, a resultante será: $\frac{-2+4i}{2}=-1+2i$.

d) 1+i / i

$\frac{1+i}{i}= \frac{(1+i)*(-i)}{(i)*(-i)}$

Multiplicando termo a termo no numerador, tem-se:

(1+i) × (-i) = (1×-i) + (i × -i)

              = -i  - i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: - i - (-1) = 1 - i

No denominador, há apenas a multiplicação entre dois "i": (i) × (-i) = -i²

Como i² = -1, substitui-se: -(-1) = 1 .

A resultante será: 1-i

e) 1-i / 1+i

$\frac{1-i}{1+i}= \frac{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)}$

Multiplicando termo a termo no numerador, tem-se:

(1-i) × (1-i) = (1 × 1) + (1 × -i) + (-i × 1) + (-i × -i)

              =      1    +    -i     +   -i      +   i²

              =      1    -      i      -    i     +   i²

              =      1     -  2i   + i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 1 - 2i + (1×-1) =

                                                            = 1 - 2i +  (-1)  =

                                                            = 1  - 2i - 1

                                                            = - 2i

Multiplicando termo a termo no denominador, tem-se:

(1+i) × (1-i) = (1 × 1) + (1 × -i) + (i × 1) + (i × -i)

              =      1    +    -i     +    i      +   -i²

              =      1    -      i      +    i     -   i²

              =      1    -   i²

Como i² = -1, substitui-se na equação: 1 - (1×-1) =

                                                            = 1 - (-1)  =

                                                            = 1  + 1  =

                                                            = 2

Juntando numerador com o denominador, a resultante será: $\frac{-2i}{2} = -i$

Para melhor fixação do conteúdo você pode ver outra pergunta sobre números complexos no link: https://brainly.com.br/tarefa/14834185

Bons estudos!

#SPJ3