Question

√x-1+√2x-2=2
 (Equação irracional)
(raiz dentro de raiz)
Por favor, ajudem.

Answer 1

$\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-2}=2\\\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2(x-1)}=2\\\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{x-1}=2\\\\ \sqrt{x-1}\cdot \big(1+\sqrt{2}\big)=2\\\\ \sqrt{x-1}=\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}$

___________

•    Condição de existência:

     O radicando (termo "dentro da raiz quadrada") não pode ser negativo:

     x – 1 ≥ 0

     x ≥ 1            (i)

___________

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, obtemos

$\big(\sqrt{x-1}\,\big)^{\!2}=\left(\dfrac{2}{1+\sqrt{2}} \right )^{\!\!2}\\\\\\ x-1=\dfrac{2^2}{\big(1+\sqrt{2}\,\big)^{\!2}}\\\\\\ x-1=\dfrac{4}{1+2\sqrt{2}+\big(\sqrt{2}\,\big)^{\!2}}\\\\\\ x-1=\dfrac{4}{1+2\sqrt{2}+2}\\\\\\ x-1=\dfrac{4}{3+2\sqrt{2}}\\\\\\ x=\dfrac{4}{3+2\sqrt{2}}+1\\\\\\ x=\dfrac{4}{3+2\sqrt{2}}+\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\\ x=\dfrac{4+3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\\ x=\dfrac{7+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$


Se quisermos, podemos racionalizar o denominador:

$x=\dfrac{7+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\cdot \dfrac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\\\\\\ x=\dfrac{\big(7+2\sqrt{2}\big)\cdot \big(3-2\sqrt{2}\big)}{\big(3+2\sqrt{2}\big)\cdot \big(3-2\sqrt{2}\big)}\\\\\\ x=\dfrac{21-14\sqrt{2}+6\sqrt{2}-\big(2\sqrt{2}\big)^{\!2}}{3^2-\big(2\sqrt{2}\big)^{\!2}}\\\\\\ x=\dfrac{21-8\sqrt{2}-8}{9-8}\\\\\\ x=\dfrac{13-8\sqrt{2}}{1}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=13-8\sqrt{2} \end{array}}$

_________

Verifiquemos se satisfaz a condição de existência.

•    Observe que

$144>128\\\\ 12^2>8^2\cdot 2\\\\ 12>8\sqrt{2}\\\\ 12+1>8\sqrt{2}+1\\\\ 13>8\sqrt{2}+1\\\\ 13-8\sqrt{2}>1~~~~~~(\checkmark)$


Portanto, o valor encontrado é solução para a equação irracional.


Conjunto solução:  $S=\big\{13-8\sqrt{2}\big\}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)