Question

Resolve
a) sen7x+sen5x=0

Answer 1

Aqui usa-se uma das fórmulas de prostaférese

(transformação de soma em produto)

$\mathtt{sen\,p+sen\,q=2\,sen\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{p-q}{2} \right )}$


Para $\mathtt{p=7x}$ e $\mathtt{q=5x},$ temos

$\mathtt{sen\,7x+sen\,5x=2\,sen\!\left(\dfrac{7x+5x}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{7x-5x}{2} \right )}\\\\\\ \mathtt{sen\,7x+sen\,5x=2\,sen\!\left(\dfrac{12x}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{2x}{2} \right )}\\\\\\ \mathtt{sen\,7x+sen\,5x=2\,sen\,6x\,cos\,x}$

______

Dessa forma, a nossa equação fica

$\mathtt{sen\,7x+sen\,5x=0}\\\\ \mathtt{2\,sen\,6x\,cos\,x=0}\\\\ \mathtt{sen\,6x\,cos\,x=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathtt{sen\,6x=0}&\texttt{ ou }&\mathtt{cos\,x=0}\\\\ \mathtt{6x=k\pi}&\texttt{ ou }&\mathtt{x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi}\\\\ \mathtt{x=\dfrac{k\pi}{6}}&\texttt{ ou }&\mathtt{x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi} \end{array}$


Se repararmos bem, a sentença

$\mathtt{x=\dfrac{k\pi}{6}}$

já satisfaz a equação $\mathtt{cos\,x=0},$

para $\mathtt{k}$ pertencendo a todos os múltiplos ímpares de 3:

$\mathtt{k \in \{...,-3,\,3,\,9,\,15,\,...\}}.$


Então o conjunto solução é

$\mathtt{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~x=\dfrac{k\pi}{6},~\texttt{com }k\in\mathbb{Z}\right\}}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)