Question

resolva  a integral de linha calculo 3
y^3 dx + x^2dy, onde c é o arco da parábola x=1-y^2 de (0,-1) a (0,1)

Answer 1

Seja:
           $\begin{cases} x(t)=1-t^2\\ y(t)=t \end{cases}$
então
             
                $y^3 dx + x^2dy=t^3(-2t)dt+(1-t^2)^2(1)dt\\ \\ y^3 dx + x^2dy=(1-2t^2-t^4)\,dt\\ \\ \\ ================================\\ \\ \displaystyle \int_\gamma y^3 dx + x^2dy=\int\limits_{-1}^{1}(1-2t^2-t^4)\,dt\\ \\ \\ \boxed{\int_\gamma y^3 dx + x^2dy=\dfrac{4}{15}}$