Question

Qual o valor da integral

$\displaystyle\iiint_R x\,dV$

onde $R=\{(x,\,y,\,z)~|~0\le x\le 2,\,-1\le y\le 1,\,1\le z\le 3\}?$

Answer 1

Da descrição do sólido R, vemos que os extremos de integração em todas as variáveis são fixos (constantes). Logo, R é um paralelepípedo, e nesse caso, a ordem de integração é irrelevante.

Vou escolher a ordem dz dy dx:

     x varia de 0 a 2;
     y varia de – 1 a 1;
     z varia de 1 a 3.


Escrevendo as integrais iteradas do Teorema de Fubini, temos

$\displaystyle\iiint_R x\,dV\\\\\\ =\int_0^2\int_{-1}^1\int_1^3x\,dz\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2\int_{-1}^1 x\cdot z\big|_1^3\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2\int_{-1}^1 x\cdot (3-1)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2\int_{-1}^1 x\cdot 2\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2\int_{-1}^1 2x\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^2 2x\cdot y\big|_{-1}^1\,dx$

$=\displaystyle\int_0^2 2x\cdot \big(1-(-1)\big)dx\\\\\\ =\int_0^2 2x\cdot (1+1)\,dx\\\\\\ =\int_0^2 2x\cdot 2\,dx\\\\\\ =\int_0^2 4x\,dx\\\\\\ =\left(\frac{4x^2}{2}\right)\!\bigg|_0^2\\\\\\ =(2x^2)\Big|_0^2\\\\\\ =2\cdot 2^2-2\cdot 0^2\\\\\\ =8~~~~~~\checkmark$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)