Question

calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Janete, que a resolução é simples.
Pede-se para calcular as medidas dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 6cm e um dos ângulos agudos desse triângulo medindo 60º.

Veja que:

sen(x) = cateto oposto/hipotenusa
e
cos(x) = cateto adjacente/hipotenusa.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos utilizar o sen(60º).

Como sen(x) = cateto oposto/hipotenusa, então teremos:

sen(60º) = cateto oposto/hipotenusa ---- substituindo-se sen(60º) por √(3)/2 e a hipotenusa por "6", teremos:

√(3)/2 = cateto oposto/6 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
6*√(3) = 2*cateto oposto ---- vamos apenas inverter, ficando:
2*cateto oposto = 6√(3) --- dividindo-se ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:

cateto oposto = 3√(3) cm <--- Esta será a medida do cateto oposto ao ângulo de 60º.

ii) Agora vamos utilizar cos(60º).

Como já vimos, tem-se que:

cos(60º) = cateto adjacente/hipotenusa ----- substituindo-se cos(60º) por "1/2" e hipotenusa por "6", teremos:

1/2 = cateto adjacente/6 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
6*1 = 2*cateto adjacente --- ou apenas:
6 = 2*cateto adjacente --- vamos apenas inverter, ficando:
2*cateto adjacente = 6
cateto adjacente = 6/2
cateto adjacente = 3 cm <--- Esta é a medida do cateto adjacente.

iii) Assim, resumindo, temos que as medidas dos dois catetos desse triângulo retângulo são:

cateto oposto ao ângulo de 60º:  3√(3) cm ---- que seria o cateto₁
cateto adjacente ao ângulo de 60º : 3 cm  ----- que seria o cateto₂

Bem, a resposta já está dada. Agora apenas por mera curiosidade, vamos aplicar Pitágoras para provar que as medidas dos catetos ora encontradas estão corretas. Veja que, segundo Pitágoras, tem-se que:

(hipotenusa)² = (cateto₁)² + (cateto₂)² ---- substituindo-se cada um por seus valores, teremos:

6² = [3√(3)]² + 3²
36 = 9*3 + 9
36 = 27 + 9
36 = 36 <--- Olha aí como é verdade.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

sen 60º   =  cateto oposto      =    y
                   ---------------------       ------ 
                       hipotenusa             6

  √3     =    y
------       ------
    2           6

6√3 = 2y
6√3    =  y
------- 
   2

3√3 = y
y = 3√3

cos 60º = cateto adjacente 
                ---------------------------
                      hipotenusa

  1             x
------   =   ------
   2             6

1.6 = 2.x
6 = 2x
2x = 6
x = 6/2
x = 3

Obs.: 
Segue a ilustração na figura anexa.