Question

Determine k real de modo que a função f(x)= 2x² - 3x + k seja positiva para todo x real.

Answer 1

Encontrar $\mathtt{k\in\mathbb{R},}$ de modo que

$\mathtt{f(x)=2x^2-3x+k>0}$

para todo $\mathtt{x\in\mathbb{R}.}$

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Ora, o que sabemos de uma função quadrática dada nessa forma?

$\mathtt{f(x)=2x^2-3x+k}\quad\Rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathtt{a=2>0}\\\mathtt{b=-3}\\\mathtt{c=k} \end{array} \right.$


Queremos que a função seja sempre positiva, então basta garantirmos que ela não possua raízes reais, isto é

$\mathtt{\Delta<0}\\\\ \mathtt{b^2-4ac<0}\\\\ \mathtt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot k<0}\\\\ \mathtt{9-8k<0}\\\\ \mathtt{8k>9}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{k>\dfrac{9}{8}} \end{array}}$   <———    esta é a condição procurada.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)